Exercício 45. Calcule \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy,
onde a região D é o disco fechado de raio 2:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
A função a integrar é x^{2}+y^{2}.
A região D é o disco centrado em 0 de raio 2 (ou seja, todos os pontos com x^{2}+y^{2}\le 4).
A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Por que trocar de coordenadas? Uma dica prática: quando a integranda e/ou a região têm simetria circular (aparecem x^{2}+y^{2} e um disco), coordenadas polares tornam a conta muito mais simples. Vou usar coordenadas polares porque:
Em polares a combinação x^{2}+y^{2} vira algo simples em termos de r.
O disco descrito por x^{2}+y^{2}\le4 vira uma faixa simples em r e \theta.
Isso diminui bastante a trabalheira na prova — e é a escolha natural aqui.
Passo 3
Definição de coordenadas polares e interpretação das variáveis:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo (direção) medido a partir do eixo x. Nesse sistema vale a identidade importante
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Agora precisamos também do fator de escala (Jacobian) que transforma o elemento de área. O elemento de área dx\,dy se transforma em r\,dr\,d\theta. Explico por que: calcular o determinante da matriz de derivadas parciais
Interpretação rápida (checagem mental): o integrando x^{2}+y^{2} cresce com a distância ao centro; integrar sobre o disco produz um valor proporcional à área do disco e ao raio elevado a certa potência — o cálculo em polares nos dá 8\pi, que é razoável (é um número positivo e proporcional a \pi, como esperado para um disco).