Exercício 45. Calcule \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy,
onde a região D é o disco fechado de raio 2:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função a integrar é x^{2}+y^{2}.
  • A região D é o disco centrado em 0 de raio 2 (ou seja, todos os pontos com x^{2}+y^{2}\le 4).
    A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Por que trocar de coordenadas? Uma dica prática: quando a integranda e/ou a região têm simetria circular (aparecem x^{2}+y^{2} e um disco), coordenadas polares tornam a conta muito mais simples. Vou usar coordenadas polares porque:
  • Em polares a combinação x^{2}+y^{2} vira algo simples em termos de r.
  • O disco descrito por x^{2}+y^{2}\le4 vira uma faixa simples em r e \theta.
    Isso diminui bastante a trabalheira na prova — e é a escolha natural aqui.

Passo 3

Definição de coordenadas polares e interpretação das variáveis:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo (direção) medido a partir do eixo x. Nesse sistema vale a identidade importante
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Agora precisamos também do fator de escala (Jacobian) que transforma o elemento de área. O elemento de área dx\,dy se transforma em r\,dr\,d\theta. Explico por que: calcular o determinante da matriz de derivadas parciais
\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}= \begin{pmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial\theta \\[4pt] \partial y/\partial r & \partial y/\partial\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
\det = \cos\theta\cdot(r\cos\theta)-(-r\sin\theta)\cdot\sin\theta = r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r.
Portanto
dx\,dy = \bigl|\det\bigr|\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta.]

Passo 4

Transformando a integral para coordenadas polares:
  • A integranda x^{2}+y^{2} vira r^{2}.
  • O elemento de área dx\,dy vira r\,dr\,d\theta.
    Logo o integrando completo vira r^{2}\cdot r = r^{3}.
Os limites: o disco x^{2}+y^{2}\le4 corresponde a 0\le r\le 2 e a volta completa em \theta, isto é 0\le\theta\le 2\pi.
Assim a integral fica
\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r:
\int_{0}^{2} r^{3}\,dr=\left[\dfrac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2}=\dfrac{2^{4}}{4}=\dfrac{16}{4}=4.
Expliquei cada passo: a primitiva de r^{3} é r^{4}/4; avaliar entre 0 e 2 16/4=4.

Passo 6

Calcular a integral externa em \theta:
\int_{0}^{2\pi} 4\,d\theta = 4\cdot\bigl[ \theta \bigr]_{0}^{2\pi} = 4\cdot 2\pi = 8\pi.

Passo 7

Interpretação rápida (checagem mental): o integrando x^{2}+y^{2} cresce com a distância ao centro; integrar sobre o disco produz um valor proporcional à área do disco e ao raio elevado a certa potência — o cálculo em polares nos dá 8\pi, que é razoável (é um número positivo e proporcional a \pi, como esperado para um disco).

Resposta

8\pi

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