Exercício 42. Calcule \iint_{D} 15 d x d y, onde D é a região no segundo quadrante limitada pelos círculos x^{2}+y^{2}=2, x^{2}+y^{2}=4 e as retas y=-x, y=0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede calcular a integral dupla \iint_{D} 15\,dx\,dy.
  • A região D é a região no segundo quadrante limitada pelos círculos x^{2}+y^{2}=2 e x^{2}+y^{2}=4 e pelas retas y=-x e y=0.
  • Informação extra relevante (retirada diretamente do enunciado): as curvas x^{2}+y^{2}=2 e x^{2}+y^{2}=4 são círculos centrados na origem com raios \sqrt{2} e 2, respectivamente.
O objetivo concreto: calcular \iint_{D} 15\,dx\,dy onde D é a “fatia” do anel entre os dois círculos, situada no segundo quadrante e limitada pelas retas dadas.

Passo 2

Por que é natural usar coordenadas polares aqui (explicação didática, sem pular etapas).
  • As equações x^{2}+y^{2}=\text{constante} são muito simples em coordenadas polares: ficam apenas r^{2}=\text{constante} (ou r= raiz).
  • Em polares representamos pontos por (r,\theta) onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
  • As transformações são x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.Essas fórmulas significam: dado r e \theta, a coordenada x é a projeção horizontal r\cos\theta e y é a projeção vertical r\sin\theta.
  • Além disso, o elemento de área em polares é dx\,dy = r\,dr\,d\theta,que vem do determinante da transformação (Jacobiano). Intuitivamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximadamente r\,dr\,d\theta porque o arco tem comprimento r\,d\theta.

Passo 3

Determinar os limites de r e \theta correspondentes à região D.
  • Pelas equações dos círculos: x^{2}+y^{2}=2 \longrightarrow r^{2}=2 \longrightarrow r=\sqrt{2},
x^{2}+y^{2}=4 \longrightarrow r^{2}=4 \longrightarrow r=2.
Então r varia entre \sqrt{2} e 2:
\sqrt{2}\le r\le 2.
  • Agora as retas que limitam em ângulo:
    • A reta y=0 corresponde a \sin\theta=0. No plano, as direções possíveis são \theta=0 (eixo positivo x) e \theta=\pi (eixo negativo x). Como estamos no segundo quadrante (onde x<0 e y>0), a reta relevante é \theta=\pi.
    • A reta y=-x tem razão \dfrac{y}{x}=-1. Em termos de ângulo, \tan\theta=-1. No segundo quadrante isso corresponde a \theta=\tfrac{3\pi}{4} (ou 135^\circ), porque nesse quadrante \cos\theta<0 e \sin\theta>0.
  • Portanto \theta varia de \theta=\tfrac{3\pi}{4} até \theta=\pi: \tfrac{3\pi}{4}\le \theta\le \pi.
Resumo dos limites: \sqrt{2}\le r\le 2 e \tfrac{3\pi}{4}\le\theta\le\pi.

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas polares usando o elemento de área r\,dr\,d\theta.
  • A integranda é constante 15. Ao trocar para polares, temos dx\,dy=r\,dr\,d\theta.
  • Logo a integral fica \iint_{D} 15\,dx\,dy = \int_{\theta=\tfrac{3\pi}{4}}^{\pi}\int_{r=\sqrt{2}}^{2} 15\; r \,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r passo a passo.
  • Calcular \displaystyle \int_{\sqrt{2}}^{2} 15\,r\,dr.
  • Primeiro, achar a primitiva: \displaystyle \int 15\,r\,dr = 15\cdot\frac{r^{2}}{2} = \frac{15}{2}r^{2}.
  • Avaliar entre r=\sqrt{2} e r=2: \left.\frac{15}{2}r^{2}\right|_{r=\sqrt{2}}^{r=2} = \frac{15}{2}\bigl(2^{2} - (\sqrt{2})^{2}\bigr) = \frac{15}{2}\bigl(4-2\bigr) = \frac{15}{2}\cdot 2 = 15.
  • Conclusão: a integral interna em r resulta exatamente em 15. Assim a integral dupla reduz-se a integrar 15 em \theta.

Passo 6

Calcular a integral externa em \theta.
  • Agora temos \iint_{D} 15\,dx\,dy = \int_{\tfrac{3\pi}{4}}^{\pi} 15 \, d\theta.
  • A primitiva de 15 em relação a \theta é 15\theta. Avaliando: \left.15\theta\right|_{\theta=\tfrac{3\pi}{4}}^{\theta=\pi} = 15\bigl(\pi - \tfrac{3\pi}{4}\bigr) = 15\cdot \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{15\pi}{4}.

Resposta

\tfrac{15\pi}{4}

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