Exercício 47. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral dupla
onde a região
é o disco de raio
centrado na origem:
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
. - A região
é o disco de raio (tudo com ). - Observação importante: para todo
temos , então . Ou seja, o integrando é bem-comportado (não tem singularidade) em toda a região.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares? Explicação didática: a região
é circular (disco) e o integrando depende apenas de
. Em coordenadas polares as fórmulas são
onde
é a distância ao ponto
até a origem e
é o ângulo. Ao fazer essa mudança, a área elementar
transforma-se em
. Esse fator
é o jacobiano da transformação: ele representa a razão entre pequenas áreas no plano cartesiano e as correspondentes em coordenadas
. Em palavras simples: ao “cobrir” o disco com anéis concêntricos, cada anel de largura
tem comprimento
, daí surge o fator
.
Os limites em polares para o disco de raio
são:
Passo 3
Escrever a integral em coordenadas polares. Substituindo
e
, obtemos
Podemos separar a integral angular, pois o integrando não depende de
:
Passo 4
Calcular a integral radial
Fazemos a substituição simples e padrão para integrais do tipo
:
Mudar os limites: quando
tem-se
; quando
tem-se
. Assim
Calculando o valor:
Explicação rápida do passo: a integral de
é
. Os sinais apareceram porque a substituição inverteu a ordem dos limites; no final obtemos um resultado positivo porque
.
Passo 5
Voltar à integral completa. Multiplicando pelo fator angular:
Verificação rápida de consistência: integrando uma função positiva sobre uma região de área
, espera-se um resultado positivo;
e tudo bate.