Exercício 47. Calcule \iint_{D} \frac{1}{4-x^{2}-y^{2}} d x d y, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral dupla
\iint_{D} \frac{1}{4-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy,
onde a região D é o disco de raio 1 centrado na origem:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\leq 1\}.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{1}{4-x^{2}-y^{2}}.
  • A região D é o disco de raio 1 (tudo com x^{2}+y^{2}\leq 1).
  • Observação importante: para todo (x,y)\in D temos x^{2}+y^{2}\leq 1, então 4-x^{2}-y^{2}\geq 3>0. Ou seja, o integrando é bem-comportado (não tem singularidade) em toda a região.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares? Explicação didática: a região D é circular (disco) e o integrando depende apenas de x^{2}+y^{2}. Em coordenadas polares as fórmulas são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao ponto (x,y) até a origem e \theta é o ângulo. Ao fazer essa mudança, a área elementar dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta. Esse fator r é o jacobiano da transformação: ele representa a razão entre pequenas áreas no plano cartesiano e as correspondentes em coordenadas (r,\theta). Em palavras simples: ao “cobrir” o disco com anéis concêntricos, cada anel de largura dr tem comprimento 2\pi r, daí surge o fator r.
Os limites em polares para o disco de raio 1 são:
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 3

Escrever a integral em coordenadas polares. Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy=r\,dr\,d\theta, obtemos
\iint_{D} \frac{1}{4-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\frac{1}{4-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.
Podemos separar a integral angular, pois o integrando não depende de \theta:
\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{1}\frac{r}{4-r^{2}}\,dr\right)d\theta =2\pi\int_{0}^{1}\frac{r}{4-r^{2}}\,dr.

Passo 4

Calcular a integral radial
I=\int_{0}^{1}\frac{r}{4-r^{2}}\,dr.
Fazemos a substituição simples e padrão para integrais do tipo \dfrac{r}{a-r^{2}}:
u=4-r^{2}\quad\Rightarrow\quad du=-2r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr=-\frac{1}{2}\,du.
Mudar os limites: quando r=0 tem-se u=4; quando r=1 tem-se u=3. Assim
I=\int_{u=4}^{u=3}\frac{-1}{2}\cdot\frac{1}{u}\,du =-\frac{1}{2}\bigl[\ln u\bigr]_{4}^{3}.
Calculando o valor:
I=-\frac{1}{2}\bigl(\ln 3-\ln 4\bigr)=-\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{4}{3}\right).
Explicação rápida do passo: a integral de 1/u é \ln u. Os sinais apareceram porque a substituição inverteu a ordem dos limites; no final obtemos um resultado positivo porque \ln(4/3)>0.

Passo 5

Voltar à integral completa. Multiplicando pelo fator angular:
\iint_{D}\frac{1}{4-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy =2\pi\cdot I =2\pi\cdot\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{4}{3}\right) =\pi\ln\!\left(\frac{4}{3}\right).
Verificação rápida de consistência: integrando uma função positiva sobre uma região de área \pi, espera-se um resultado positivo; \ln(4/3)>0 e tudo bate.

Resposta

\pi\ln\!\left(\dfrac{4}{3}\right)

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