Exercício 44. Encontre o ponto do intervalo
em que a função
assume seu valor máximo.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o ponto do intervalo
em que a função
assume seu valor máximo. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há outras informações externas; tudo o que precisamos está acima.
Passo 2
Vamos lembrar uma ideia essencial que usaremos: uma função contínua definida num intervalo fechado atinge máximos e mínimos (Teorema do Valor Extremo). Para encontrar onde ocorrem esses extremos geralmente verificamos:
- pontos críticos no interior do intervalo (pontos onde a derivada é zero ou não existe) e
- os extremos nos pontos extremos do intervalo (aqui
e ).
Antes de aplicar isso, preciso calcular a derivada de
. Vou explicar como obter derivadas simples que aparecerão aqui: a derivada de
é
porque a taxa de variação instantânea do logaritmo natural é inversamente proporcional a
. A derivada de
é
. Essas são regras básicas de derivação que você deve lembrar para usar em provas.
Passo 3
Calculo a derivada de
usando as regras acima:
Expliquei cada termo:
vem de
e
vem de
.
Passo 4
Agora encontro os pontos críticos resolvendo
ou verificando onde
não existe. Temos
Resolvo passo a passo:
A derivada existe para todo
, então não há pontos onde a derivada deixe de existir dentro do intervalo. Assim o único número que anula
é
. Observação importante:
é também o extremo esquerdo do intervalo
(ou seja, é uma fronteira do intervalo), não um ponto interior estrito.
Passo 5
Como
ficou na fronteira, para aplicar o teste de extremos no intervalo fechado
devemos comparar os valores de
nos candidatos:
- pontos críticos interiores (se existissem) — aqui não há nenhum em
, - e nos endpoints
e .
Calculo
e
com cuidado:
Podemos comparar numericamente
, então
Logo
é maior que
.
Passo 6
Como não há pontos críticos no interior de
e já que
é maior que
, concluímos que o valor máximo de
no intervalo
ocorre em
.
Uma verificação adicional rápida usando a segunda derivada confirma a ideia: calcule
ou seja,
é côncava para baixo em todo o domínio, o que indica que qualquer ponto crítico interior seria máximo local. Aqui o único ponto onde
é
(fronteira), e a concavidade reforça que o valor decresce ao se afastar de
para a direita.