Exercício 44. Encontre o ponto do intervalo [1,5] em que a função
f(x)=\ln (x)-x
assume seu valor máximo.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o ponto do intervalo [1,5] em que a função
f(x)=\ln(x)-x
assume seu valor máximo. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{domínio/intervalo considerado: }[1,5],í
\text{função: }f(x)=\ln(x)-x.çã
Não há outras informações externas; tudo o que precisamos está acima.

Passo 2

Vamos lembrar uma ideia essencial que usaremos: uma função contínua definida num intervalo fechado atinge máximos e mínimos (Teorema do Valor Extremo). Para encontrar onde ocorrem esses extremos geralmente verificamos:
  1. pontos críticos no interior do intervalo (pontos onde a derivada é zero ou não existe) e
  2. os extremos nos pontos extremos do intervalo (aqui \,x=1 e \,x=5).
Antes de aplicar isso, preciso calcular a derivada de f. Vou explicar como obter derivadas simples que aparecerão aqui: a derivada de \ln(x) é
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x},
porque a taxa de variação instantânea do logaritmo natural é inversamente proporcional a x. A derivada de -x é -1. Essas são regras básicas de derivação que você deve lembrar para usar em provas.

Passo 3

Calculo a derivada de f usando as regras acima:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(\ln(x)\big)-\frac{d}{dx}(x)=\frac{1}{x}-1.
Expliquei cada termo: \frac{1}{x} vem de \ln(x) e -1 vem de -x.

Passo 4

Agora encontro os pontos críticos resolvendo f'(x)=0 ou verificando onde f'(x) não existe. Temos
\frac{1}{x}-1=0.
Resolvo passo a passo:
\frac{1}{x}=1 \quad\Rightarrow\quad 1= x.
A derivada existe para todo x>0, então não há pontos onde a derivada deixe de existir dentro do intervalo. Assim o único número que anula f' é x=1. Observação importante: x=1 é também o extremo esquerdo do intervalo [1,5] (ou seja, é uma fronteira do intervalo), não um ponto interior estrito.

Passo 5

Como x=1 ficou na fronteira, para aplicar o teste de extremos no intervalo fechado [1,5] devemos comparar os valores de f nos candidatos:
  • pontos críticos interiores (se existissem) — aqui não há nenhum em (1,5),
  • e nos endpoints x=1 e x=5.
Calculo f(1) e f(5) com cuidado:
f(1)=\ln(1)-1=0-1=-1,
f(5)=\ln(5)-5.
Podemos comparar numericamente \ln(5)\approx 1,609, então
f(5)\approx 1,609-5\approx -3,391.
Logo f(1)=-1 é maior que f(5)\approx -3,391.

Passo 6

Como não há pontos críticos no interior de (1,5) e já que f(1)=-1 é maior que f(5), concluímos que o valor máximo de f no intervalo [1,5] ocorre em x=1.
Uma verificação adicional rápida usando a segunda derivada confirma a ideia: calcule
f''(x)=-\frac{1}{x^{2}}<0\quad\text{para todo }x>0,
ou seja, f é côncava para baixo em todo o domínio, o que indica que qualquer ponto crítico interior seria máximo local. Aqui o único ponto onde f'(x)=0 é x=1 (fronteira), e a concavidade reforça que o valor decresce ao se afastar de x=1 para a direita.

Resposta

x=1

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