Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\int \frac{1}{(1-x)^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada de
\int \frac{1}{(1-x)^{4}}\,dx,
que é um caso de função potência composta, onde podemos aplicar mudança de variável ou a regra da cadeia invertida.

Passo 2

Reescrevemos o integrando como
(1-x)^{-4}
e fazemos a substituição u = 1 - x. Assim,
du = -\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = -\,du.

Passo 3

Substituindo em \int (1-x)^{-4}dx, obtemos
\int u^{-4} \bigl(-du\bigr) = -\int u^{-4}\,du.
Pela regra da potência,
\int u^{-4}\,du = \frac{u^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3}\,u^{-3} + C.
Então
- \int u^{-4}\,du = -\Bigl(-\frac{1}{3}u^{-3}\Bigr) + C = \frac{1}{3}\,u^{-3} + C.

Passo 4

Voltando à variável original x, com u=1-x, a primitiva fica
F(x) = \frac{1}{3}\,(1-x)^{-3} + C = \frac{1}{3(1-x)^{3}} + C.

Resposta

F(x)=\frac{1}{3(1-x)^{3}}+C.

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