Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\int e^{x} \sqrt[3]{2+e^{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva da função
\int e^{x}\sqrt[3]{2+e^{x}}\,dx.
O conteúdo é cálculo de antiderivadas usando substituição, pois vemos e^{x}\,dx junto de uma função de 2+e^{x}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 + e^{x},
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du = e^{x}\,dx.
Com isso, a integral fica
\int e^{x}\sqrt[3]{2+e^{x}}\,dx = \int u^{\tfrac{1}{3}}\,du.

Passo 3

Agora integramos a potência de u:
\int u^{\tfrac{1}{3}}\,du = \frac{u^{\tfrac{4}{3}}}{\tfrac{4}{3}} + C = \frac{3}{4}\,u^{\tfrac{4}{3}} + C.
Voltando à variável x, obtemos
\frac{3}{4}\bigl(2+e^{x}\bigr)^{\tfrac{4}{3}} + C.

Resposta

\boxed{\;\frac{3}{4}\bigl(2+e^{x}\bigr)^{\tfrac{4}{3}} + C\;}

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