Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\int \frac{6}{4 x+3} d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre uma primitiva de
\int \frac{6}{4x+3}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de uma função racional do tipo \frac{\text{constante}}{ax+b}, e a técnica mais simples é a substituição linear.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = 4x + 3,
então
du = 4\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{4}.
Substituindo na integral:
\int \frac{6}{4x+3}\,dx = \int \frac{6}{u}\,\frac{du}{4} = \frac{6}{4}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{3}{2}\ln\bigl|u\bigr| + C.
Voltando a x:
\frac{3}{2}\ln\bigl|4x+3\bigr| + C.

Resposta

\frac{3}{2}\ln\bigl|4x+3\bigr| + C.

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