Exercício 47. Usando a técnica por substituição, encontre as integrais indefinidas:
\quad \int x \sqrt{x-4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\sqrt{x-4}\,dx
usando a técnica de substituição. Vamos aproveitar que a parte complicada é \sqrt{x-4}, então escolhemos uma nova variável para simplificar essa raiz.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x - 4,
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x = u + 4 \quad\text{e}\quad dx = du.
Substituindo em \int x\sqrt{x-4}\,dx, obtemos
\int (u+4)\sqrt{u}\,du.

Passo 3

Expandimos o integrando em potências de u:
(u+4)\sqrt{u} = u\cdot u^{1/2} + 4\,u^{1/2} = u^{3/2} + 4\,u^{1/2}.
Portanto, a integral vira
\int \bigl(u^{3/2} + 4\,u^{1/2}\bigr)\,du = \int u^{3/2}\,du + 4\int u^{1/2}\,du.
Agora integramos termo a termo:
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\,u^{5/2}, \quad \int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,u^{3/2}.
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\int \bigl(u^{3/2} + 4\,u^{1/2}\bigr)\,du = \frac{2}{5}\,u^{5/2} + 4\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2} + C = \frac{2}{5}\,u^{5/2} + \frac{8}{3}\,u^{3/2} + C.

Passo 4

Voltando à variável original x com u = x - 4, temos
\frac{2}{5}\,(x-4)^{5/2} + \frac{8}{3}\,(x-4)^{3/2} + C.

Resposta

\int x\sqrt{x-4}\,dx = \frac{2}{5}\,(x-4)^{5/2} + \frac{8}{3}\,(x-4)^{3/2} + C.

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