Exercício 47. Usando a técnica por substituição, encontre as integrais indefinidas:
\int \frac{8 x^{2}}{x^{3}+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{8\,x^{2}}{x^{3}+2}\,dx
usando a técnica de substituição. Aqui o conteúdo é integração por substituição, e vamos escolher u de modo que sua derivada apareça no numerador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3} + 2.
Então a derivada de u em relação a x é
\frac{du}{dx} = 3\,x^{2},
ou seja
du = 3\,x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
o numerador 8\,x^{2}\,dx fica
8\,x^{2}\,dx = 8\cdot\frac{du}{3} = \frac{8}{3}\,du,
e o denominador x^{3}+2 é simplesmente u. Logo
\int \frac{8\,x^{2}}{x^{3}+2}\,dx = \int \frac{\frac{8}{3}\,du}{u} = \frac{8}{3}\int \frac{du}{u}.

Passo 4

A integral de 1/u é o logaritmo natural, então
\frac{8}{3}\int \frac{du}{u} = \frac{8}{3}\,\ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, temos u = x^{3}+2. Assim a primitiva é
\frac{8}{3}\,\ln\bigl|x^{3}+2\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{8\,x^{2}}{x^{3}+2}\,dx = \frac{8}{3}\,\ln\bigl|x^{3}+2\bigr| + C.

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