Exercício 46 Resolva cada um dos sitemas a seguir.
\left\{\begin{aligned}3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3} & =0 \\\ -2 x_{1}+x_{2}-x_{3} & =2 \\\ 2 x_{1}-x_{2}+2 x_{3} & =-1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear cujas equações são (copiadas do enunciado):
\left\{\begin{aligned} 3x_{1}+2x_{2}+x_{3} &= 0,\\[4pt] -2x_{1}+x_{2}-x_{3} &= 2,\\[4pt] 2x_{1}-x_{2}+2x_{3} &= -1. \end{aligned}\right.
As incógnitas são x_{1}, x_{2} e x_{3}. A tarefa é encontrar o valor de cada uma dessas incógnitas que satisfaça simultaneamente as três equações.]

Passo 2

Vamos usar eliminação por operações elementares sobre as equações (método prático e usado em provas). Antes de aplicar, explico o que são operações elementares e por que são permitidas:
  • Trocar duas equações entre si.
  • Multiplicar uma equação por um escalar não nulo.
  • Somar a uma equação um múltiplo escalar de outra equação.
Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema. A estratégia é transformar o sistema em uma forma triangular (ou matriz escalonada) para que possamos resolver por substituição (back-substitution).

Passo 3

Escrevo o sistema em forma de matriz aumentada para visualizar melhor as operações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 2 & -1 & 2 & -1 \end{array}\right]]

Passo 4

Elimino as entradas abaixo do primeiro pivô (que é 3 na primeira linha, primeira coluna).
  • Para zerar a entrada da segunda linha uso a operação \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 + \tfrac{2}{3}\text{R}_1, pois -2 + \tfrac{2}{3}\cdot 3 = 0.
  • Para zerar a entrada da terceira linha uso a operação \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \tfrac{2}{3}\text{R}_1, pois 2 - \tfrac{2}{3}\cdot 3 = 0.
Faço as contas linha a linha:
Cálculo de \text{R}_2 + \tfrac{2}{3}\text{R}_1:
\begin{aligned} \text{coeficientes: } & -2 + \tfrac{2}{3}\cdot 3=0,\quad 1 + \tfrac{2}{3}\cdot 2 = 1 + \tfrac{4}{3} = \tfrac{7}{3},\\\ & -1 + \tfrac{2}{3}\cdot 1 = -1 + \tfrac{2}{3} = -\tfrac{1}{3},\quad 2 + \tfrac{2}{3}\cdot 0 = 2. \end{aligned}
Cálculo de \text{R}_3 - \tfrac{2}{3}\text{R}_1:
\begin{aligned} \text{coeficientes: } & 2 - \tfrac{2}{3}\cdot 3=0,\quad -1 - \tfrac{2}{3}\cdot 2 = -1 - \tfrac{4}{3} = -\tfrac{7}{3},\\\ & 2 - \tfrac{2}{3}\cdot 1 = 2 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{3},\quad -1 - \tfrac{2}{3}\cdot 0 = -1. \end{aligned}
A matriz aumentada vira:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{7}{3} & -\tfrac{1}{3} & 2\\[4pt] 0 & -\tfrac{7}{3} & \tfrac{4}{3} & -1 \end{array}\right]]

Passo 5

Para simplificar cálculos, multiplico \text{R}_2 e \text{R}_3 por 3 (operação permitida: multiplicar uma linha por escalar não nulo). Isso elimina frações:
\text{R}_2 \leftarrow 3\text{R}_2,\qquad \text{R}_3 \leftarrow 3\text{R}_3.
Resulta:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 7 & -1 & 6\\[4pt] 0 & -7 & 4 & -3 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora elimino a entrada da terceira linha, coluna 2 (queremos zerar -7 usando a segunda linha). Faço \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 + \text{R}_2 porque -7 + 7 = 0.
Calculemos:
\text{R}_3 + \text{R}_2 = \bigl(0,\\\ -7+7,\\\ 4+(-1),\\\ -3+6\bigr) = \bigl(0,\\\ 0,\\\ 3,\\\ 3\bigr).
A matriz fica triangular:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 7 & -1 & 6\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 3 \end{array}\right]]

Passo 7

Agora resolvemos por substituição a partir da última equação (teremos um sistema em forma triangular):
A terceira linha corresponde a \;3x_{3}=3\;. Logo:
x_{3} = \frac{3}{3} = 1.

Passo 8

Usamos a segunda equação (segunda linha): 7x_{2} - x_{3} = 6. Substituindo x_{3}=1:
7x_{2} - 1 = 6 \quad\Rightarrow\quad 7x_{2} = 7 \quad\Rightarrow\quad x_{2} = 1.

Passo 9

Usamos a primeira equação: 3x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 0. Substituindo x_{2}=1 e x_{3}=1:
3x_{1} + 2\cdot 1 + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3x_{1} + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3x_{1} = -3 \quad\Rightarrow\quad x_{1} = -1.

Passo 10

Concluímos que a solução do sistema é x_{1}=-1, x_{2}=1, x_{3}=1. Se quiser, confirme substituindo esses valores nas três equações — todas ficam satisfeitas (verificação direta).

Resposta

x_{1}=-1
x_{2}=1
x_{3}=1

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