Exercício 46 Resolva cada um dos sitemas a seguir.
\left\{\begin{array} { r r r r } { 2 x _ { 1 } + x _ { 2 } + 3 x _ { 3 } } & { = } & { 1 } \{ 4 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } + 5 x _ { 3 } } & { = } & { 1 } \{ 6 x _ { 1 } + 5 x _ { 2 } + 5 x _ { 3 } } & { = } & { - 3 } \end{array} \quad \left\{\begin{array}{rl}x_{2}+x_{3}+x_{4} & =0 \\\ 3 x_{1} & +3 x_{3}-4 x_{4} \x_{1}+x_{2}+7 & +2 x_{4} \\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+3 & +3 x_{4}\end{array}=670\right.\right.

Passo 1

O enunciado fornece dois sistemas para resolver. Vou listar claramente o que foi dado para cada um (copiei exatamente do enunciado).
Sistema A (primeiro sistema), com três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}:
\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=1,\\[4pt] 4x_{1}+3x_{2}+5x_{3}=1,\\[4pt] 6x_{1}+5x_{2}+5x_{3}=-3. \end{cases}
Sistema B (segundo sistema), tal como apareceu no enunciado:
\begin{cases} x_{2}+x_{3}+x_{4}=0,\\[4pt] 3x_{1}+3x_{3}-4x_{4},\\[4pt] x_{1}+x_{2}+7+2x_{4},\\[4pt] 2x_{1}+3x_{2}+3+3x_{4} \end{cases}=670.
O que se pede: “Resolva cada um dos sistemas”. Portanto é esperado encontrar todas as incógnitas de cada sistema.
Observação importante sobre o Sistema B: as três equações do meio estão escritas sem sinal de igualdade e sem o termo do lado direito (apenas aparece ao final um =670'' que não está claramente associado a uma só equação). Ou seja, faltam os termos do lado direito (os valores após o sinal =’’ ) em três das quatro equações, e a forma como o ``=670’’ se liga às equações está ambígua. Por isso falta informação suficiente para resolver o Sistema B tal como foi apresentado.
A partir daqui vou resolver o Sistema A normalmente e depois explicar por que não é possível resolver o Sistema B sem mais informações.]

Passo 2

Escolha do método para o Sistema A e explicação do método (aulas rápidas e amigáveis).
Vou usar eliminação de Gauss (eliminação por linhas) — é um método padrão e eficiente para sistemas lineares. Ideia principal: escrevemos o sistema como uma matriz aumentada (coeficientes + coluna dos termos independentes) e aplicamos operações elementares nas linhas para chegar a uma forma escalonada, da qual obtemos as incógnitas por substituição regressiva.
As operações elementares permitidas são:
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um número não nulo;
  • somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Essas operações não alteram o conjunto de soluções do sistema. Vou aplicar essas operações passo a passo, explicando cada uma.

Passo 3

Montagem da matriz aumentada do Sistema A.
Escrevo a matriz aumentada com as colunas correspondendo a x_{1},x_{2},x_{3} e a última coluna aos termos independentes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 4 & 3 & 5 & 1\\[4pt] 6 & 5 & 5 & -3 \end{array}\right].
Cada linha corresponde a uma equação do sistema. O objetivo é obter zeros abaixo do primeiro pivô (o elemento na posição (1,1)), depois zeros abaixo do pivô seguinte, etc.]

Passo 4

Eliminação na primeira coluna (zerar os elementos abaixo de 2 na coluna 1).
Vou usar a primeira linha como pivô.
Operações:
  • R_{2} \leftarrow R_{2} - 2R_{1}. Explico: subtrai-se duas vezes a linha 1 da linha 2 para eliminar o 4 na primeira coluna da linha 2.
  • R_{3} \leftarrow R_{3} - 3R_{1}. Explico: subtrai-se três vezes a linha 1 da linha 3 para eliminar o 6 na primeira coluna da linha 3.
Faço as contas linha a linha.
Para R_{2}:
R_{2}-2R_{1}:\quad \begin{array}{l} 4-2\cdot 2 = 0,\\[4pt] 3-2\cdot 1 = 1,\\[4pt] 5-2\cdot 3 = -1,\\[4pt] 1-2\cdot 1 = -1. \end{array}
Logo a nova R_{2} é [0\\ \\\ 1\\ \\\ -1\\ |\\\ -1].
Para R_{3}:
R_{3}-3R_{1}:\quad \begin{array}{l} 6-3\cdot 2 = 0,\\[4pt] 5-3\cdot 1 = 2,\\[4pt] 5-3\cdot 3 = -4,\\[4pt] -3-3\cdot 1 = -6. \end{array}
Logo a nova R_{3} é [0\\ \\\ 2\\ \\\ -4\\ |\\\ -6].
A matriz aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 2 & -4 & -6 \end{array}\right].]

Passo 5

Eliminação na segunda coluna (usar o pivô da segunda linha, que é 1, para zerar abaixo).
Já temos na segunda linha um pivô simples 1 na posição (2,2). Vou zerar o elemento abaixo dele (na linha 3) com:
  • R_{3} \leftarrow R_{3} - 2R_{2}.
Calculemos:
R_{3}-2R_{2}:\quad \begin{array}{l} 0-2\cdot 0 = 0,\\[4pt] 2-2\cdot 1 = 0,\\[4pt] -4-2\cdot(-1) = -4 +2 = -2,\\[4pt] -6-2\cdot(-1) = -6 +2 = -4. \end{array}
Então a nova R_{3} é [0\\ \\\ 0\\ \\\ -2\\ |\\\ -4].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -4 \end{array}\right].
Estamos em forma escalonada (triangular superior). Agora fazemos substituição regressiva para encontrar x_{3},x_{2},x_{1}.]

Passo 6

Substituição regressiva — resolver a partir da última equação.
A última linha representa a equação
-2x_{3} = -4.
Resolvo para x_{3}:
x_{3} = \frac{-4}{-2} = 2.
Agora volto à segunda linha, que representa
x_{2} - x_{3} = -1.
Substituo x_{3}=2:
x_{2} - 2 = -1 \quad\Rightarrow\quad x_{2} = -1 + 2 = 1.
Por fim, uso a primeira linha:
2x_{1} + x_{2} + 3x_{3} = 1.
Substituo x_{2}=1 e x_{3}=2:
2x_{1} + 1 + 3\cdot 2 = 1 \quad\Rightarrow\quad 2x_{1} + 1 + 6 = 1.
Isso é
2x_{1} + 7 = 1 \quad\Rightarrow\quad 2x_{1} = -6 \quad\Rightarrow\quad x_{1} = -3.
Portanto a solução do Sistema A é x_{1}=-3, x_{2}=1, x_{3}=2.

Passo 7

Discussão e verificação rápida (por que sempre conferir! — dica amiga).
Verifico substituindo na primeira equação:
2(-3)+1+3\cdot 2 = -6+1+6 = 1 \quad\checkmark.
Segunda equação:
4(-3)+3\cdot 1 +5\cdot 2 = -12+3+10 = 1 \quad\checkmark.
Terceira equação:
6(-3)+5\cdot 1 +5\cdot 2 = -18+5+10 = -3 \quad\checkmark.
Tudo confere — solução correta.

Passo 8

Sobre o Sistema B: por que não é possível resolvê-lo com os dados fornecidos.
O Sistema B, como foi enviado, está ambíguo e incompleto. Para resolver um sistema linear com quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} é necessário que cada equação esteja completa, isto é, tenha a forma
\text{(combinação linear de }x_{i}\text{)} = \text{(número)}.çãú
No enunciado temos apenas a primeira equação integralmente: \;x_{2}+x_{3}+x_{4}=0. As outras três linhas estão sem o sinal de igualdade e sem os valores do lado direito (ou a associação com o ``=670’’ é ambígua). Sem saber os termos independentes dessas três equações (os números do lado direito) não há como montar a matriz aumentada nem aplicar eliminação de Gauss — qualquer tentativa exigiria inventar valores que não foram fornecidos.
Portanto, não é possível encontrar a solução do Sistema B sem que o enunciado seja corrigido e as equações completas (com seus termos do lado direito) sejam fornecidas.

Resposta

x_{1}=-3,\\ x_{2}=1,\\ x_{3}=2
Não é possível resolver o segundo sistema porque três das quatro equações estão incompletas/ambíguas (faltam os termos do lado direito), portanto faltam informações essenciais.

Exercícios relacionados