Exercício 48: Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, enquanto a , b , c e d são quatro constantes diferentes de zero. Julgue as proposições:
- Var
.
-
.
-
.
-
.
- Se X e Y são independentes, então
.
Passo 1
O enunciado pede para julgar cinco proposições sobre variância, covariância e correlação de transformações lineares de variáveis aleatórias
e
, além de uma proposição envolvendo independência e variância de uma razão
. O conteúdo necessário é:
- Propriedade de variância de combinação afim de uma única variável.
- Propriedade de variância de combinação linear de duas variáveis e uso de covariância.
- Propriedade de covariância de combinações lineares de duas variáveis.
- Definição de correlação e como ela se comporta sob transformações lineares.
- Independência de
e e como isso afeta variância de funções de e .
Passo 2
Verificamos a primeira proposição usando a definição de variância:
Logo, a proposição é verdadeira.
Passo 3
Para a segunda proposição, usamos que para quaisquer variáveis
e
:
Tomando
e
, temos
,
e
. Portanto,
logo a proposição é verdadeira.
Passo 4
Para a terceira proposição, usamos a bilinearidade da covariância:
Como
,
e
, segue
portanto essa proposição também é verdadeira.
Passo 5
Na quarta proposição, a correlação é definida por
Tomando
e
, temos
e
,
. Logo
que em geral não coincide com
. Portanto, a proposição é falsa.
Passo 6
Na quinta proposição, mesmo que
e
sejam independentes, a razão
não tem a mesma variância de
, pois a divisão por
altera a distribuição de
. A independência assegura apenas que
, mas não que
. Logo, essa proposição é falsa.
Resposta
- Verdadeira
- Verdadeira
- Verdadeira
- Falsa
- Falsa