Exercício 48: Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, enquanto a , b , c e d são quatro constantes diferentes de zero. Julgue as proposições:
  • Var (aX+b)=a^2 Var(X).
  • Var(a X-c Y)=a^2 Var(X)+c^2 Var(Y)-2 ac Cov(X, Y).
  • Cov(aX+bY, cX+dY)=ac Var(X)+bd Var(Y)+(ad+bc) Cov(X, Y).
  • Corr(aX+b, cX+d)=Corr(X, Y).
  • Se X e Y são independentes, então Var(Y / X)=Var(Y).

Passo 1

O enunciado pede para julgar cinco proposições sobre variância, covariância e correlação de transformações lineares de variáveis aleatórias X e Y, além de uma proposição envolvendo independência e variância de uma razão Y/X. O conteúdo necessário é:
  1. Propriedade de variância de combinação afim de uma única variável.
  2. Propriedade de variância de combinação linear de duas variáveis e uso de covariância.
  3. Propriedade de covariância de combinações lineares de duas variáveis.
  4. Definição de correlação e como ela se comporta sob transformações lineares.
  5. Independência de X e Y e como isso afeta variância de funções de X e Y.

Passo 2

Verificamos a primeira proposição usando a definição de variância:
Var(aX+b) =El[(aX+b - E[aX+b])^2r] =El[(a(X - E[X]))^2r] =a^2,El[(X - E[X])^2r] =a^2,Var(X)
Logo, a proposição é verdadeira.

Passo 3

Para a segunda proposição, usamos que para quaisquer variáveis U e V:
Var(U+V) =Var(U)+Var(V)+2,Cov(U,V)
Tomando U=aX e V=-cY, temos Var(aX)=a^2Var(X), Var(-cY)=c^2Var(Y) e Cov(aX,-cY)=-ac,Cov(X,Y). Portanto,
Var(aX - cY) =a^2Var(X)+c^2Var(Y)-2ac,Cov(X,Y),
logo a proposição é verdadeira.

Passo 4

Para a terceira proposição, usamos a bilinearidade da covariância:
Cov(aX+bY,;cX+dY) =a,c,Cov(X,X) +a,d,Cov(X,Y) +b,c,Cov(Y,X) +b,d,Cov(Y,Y)
Como Cov(X,X)=Var(X), Cov(Y,Y)=Var(Y) e Cov(Y,X)=Cov(X,Y), segue
Cov(aX+bY,cX+dY) =ac,Var(X)+bd,Var(Y)+(ad+bc),Cov(X,Y),
portanto essa proposição também é verdadeira.

Passo 5

Na quarta proposição, a correlação é definida por
Corr(U,V) =Cov(U,V)raizVar(U),Var(V)
Tomando U=aX+b e V=cX+d, temos Cov(aX+b,cX+d)=ac,Var(X) e Var(aX+b)=a^2Var(X), Var(cX+d)=c^2Var(X). Logo
Corr(aX+b,cX+d) =ac,Var(X)raiza^2Var(X);c^2Var(X) =ac|ac| =pm1,
que em geral não coincide com Corr(X,Y). Portanto, a proposição é falsa.

Passo 6

Na quinta proposição, mesmo que X e Y sejam independentes, a razão Y/X não tem a mesma variância de Y, pois a divisão por X altera a distribuição de Y. A independência assegura apenas que Cov(X,Y)=0, mas não que Var(Y/X)=Var(Y). Logo, essa proposição é falsa.

Resposta

  1. Verdadeira
  2. Verdadeira
  3. Verdadeira
  4. Falsa
  5. Falsa

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