Exercício 46 - (UFSC, 2018)
Considere uma esfera, um cone e um cilindro, todos com raio de medida r. Sabe-se que a altura do cone tem medida h=r e a altura do cilindro mede o dobro da altura do cone. Nessas condições, a soma do volume da esfera com o dobro do volume do cone é igual ao volume do cilindro.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma esfera, um cone e um cilindro, todos com raio r. A altura do cone é h=r e a altura do cilindro é o dobro da altura do cone, ou seja, H=2r. O que queremos é verificar que
\text{(volume da esfera)} + 2\;\times\;\text{(volume do cone)} = \text{(volume do cilindro)}.

Passo 2

Vamos anotar as fórmulas de volume:
\text{volume da esfera} = V_{\text{esf}} = \frac{4}{3}\,\pi\,r^{3}.

Passo 3

A seguir o volume do cone de raio r e altura h=r:
V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}\,\pi\,r^{2}\,h = \frac{1}{3}\,\pi\,r^{2}\cdot r = \frac{1}{3}\,\pi\,r^{3}.

Passo 4

Por fim, o volume do cilindro de raio r e altura H=2r é
V_{\text{cil}} = \pi\,r^{2}\,H = \pi\,r^{2}\cdot(2r) = 2\,\pi\,r^{3}.

Passo 5

Agora somamos o volume da esfera com o dobro do volume do cone:
V_{\text{esf}} \;+\; 2\,V_{\text{cone}} = \frac{4}{3}\,\pi\,r^{3} \;+\; 2\;\Bigl(\frac{1}{3}\,\pi\,r^{3}\Bigr) = \frac{4}{3}\,\pi\,r^{3} \;+\; \frac{2}{3}\,\pi\,r^{3} = 2\,\pi\,r^{3}.

Passo 6

Comparando, vemos que
V_{\text{esf}} + 2\,V_{\text{cone}} = 2\,\pi\,r^{3} \;=\; V_{\text{cil}},
ou seja, realmente a soma do volume da esfera com o dobro do volume do cone coincide com o volume do cilindro.

Resposta

A igualdade
V_{\text{esf}} + 2\,V_{\text{cone}} = V_{\text{cil}}
vale identicamente para qualquer r>0.

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