(valor: 2,0 ) Durante a aula de meses passados, os alunos coletaram dados reais de glicose em jejum de uma população. Com base nos cálculos realizados por seu grupo, você obteve uma média de 100 \mathrm{mg} / \mathrm{dL}. A variância é 25 (mg por decilitro) { }^{2}. Sabendo que os níveis de glicose podem ser modelados por uma distribuição normal. Estime a probabilidade de um individuo apresentar um nível de glicose:
a) maior que 110 mg por decilitro?
b) entre 106 e 111 mg por decilitro?
c) Se tivermos um grupo com 20 pessoas, dessa população, quantas pessoas terão nível de glicose menor que 97 mg por decilitro?

Passo 1

O enunciado descreve que os níveis de glicose em jejum seguem uma distribuição normal com média \mu = 100 mg/dL e variância \sigma^2 = 25 (mg/dL) ^2, logo desvio padrão \sigma = 5 mg/dL. Vamos usar a padronização Z = \frac{X - \mu}{\sigma} e tabelas da normal padrão para estimar as probabilidades pedidas.

Passo 2

Para (a), queremos
P(X > 110).
Padronizando, temos
Z = \frac{110 - 100}{5} = 2.
Então
P(X > 110) = P\!\bigl(Z > 2\bigr) = 1 - \Phi(2).

Passo 3

Consultando a tabela da normal padrão, \Phi(2)\approx 0{,}9772. Logo
P(X > 110) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228.

Passo 4

Para (b), queremos
P(106 \le X \le 111).
Padronizando as extremidades:
z_1 = \frac{106 - 100}{5} = 1{,}2,\quad z_2 = \frac{111 - 100}{5} = 2{,}2.
Portanto
P(106 \le X \le 111) = \Phi(2{,}2) - \Phi(1{,}2).

Passo 5

Da tabela, \Phi(2{,}2)\approx 0{,}9861 e \Phi(1{,}2)\approx 0{,}8849. Assim
P(106 \le X \le 111) = 0{,}9861 - 0{,}8849 = 0{,}1012.

Passo 6

Para (c), calculamos
P(X < 97).
Padronizando:
z = \frac{97 - 100}{5} = -0{,}6.
Então
P(X < 97) = \Phi(-0{,}6) = 1 - \Phi(0{,}6)\approx 1 - 0{,}7257 = 0{,}2743.
Numa amostra de 20 pessoas, o número esperado com glicemia abaixo de 97 mg/dL é
20 \times 0{,}2743 = 5{,}486,
ou seja, aproximadamente 5 pessoas.

Resposta

(a) P(X>110)\approx0{,}0228.
(b) P(106\le X\le111)\approx0{,}1012.
(c) Espera-se cerca de 5 pessoas com glicose menor que 97 mg/dL.

Exercícios relacionados