Exercício 46 - (UFSC, 2018)
Considere uma esfera, um cone e um cilindro, todos com raio de medida
. Sabe-se que a altura do cone tem medida
e a altura do cilindro mede o dobro da altura do cone. Nessas condições, a soma do volume da esfera com o dobro do volume do cone é igual ao volume do cilindro.
Considere uma esfera, um cone e um cilindro, todos com raio de medida
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma esfera, um cone e um cilindro, todos com raio
. A altura do cone é
e a altura do cilindro é o dobro da altura do cone, ou seja,
. O que queremos é verificar que
Passo 2
Vamos anotar as fórmulas de volume:
Passo 3
A seguir o volume do cone de raio
e altura
:
Passo 4
Por fim, o volume do cilindro de raio
e altura
é
Passo 5
Agora somamos o volume da esfera com o dobro do volume do cone:
Passo 6
Comparando, vemos que
ou seja, realmente a soma do volume da esfera com o dobro do volume do cone coincide com o volume do cilindro.
Resposta
A igualdade
vale identicamente para qualquer
.