Exercício 50 Calcule \iint_{D}(x-y) d x d y, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 2 x^{2}+3 y^{2} \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} (x-y)\,dx\,dy,
onde o domínio D é a elipse
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 2x^{2}+3y^{2}\leq 1\}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função a integrar é x-y.
  • O domínio D é centralizado na origem e definido por uma inequação quadrática em x e y: 2x^{2}+3y^{2}\leq 1.
  • A tarefa é fornecer o valor numérico da integral dupla sobre esse domínio.

Passo 2

Usar linearidade da integral para separar a integral em duas:
\iint_{D}(x-y)\,dx\,dy=\iint_{D}x\,dx\,dy-\iint_{D}y\,dx\,dy.
Explicando a linearidade: para integrais duplas vale que a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral. Ou seja, se f e g são integráveis em D então
\iint_{D}(f+g)=\iint_{D}f+\iint_{D}g,
e para c\in\mathbb{R}
\iint_{D} c f = c\iint_{D} f.
Aqui aplicamos isso com f(x,y)=x e g(x,y)=-y.

Passo 3

Mostro que \iint_{D} x\,dx\,dy = 0 por simetria em relação ao eixo y.
Razão detalhada: para cada ponto (x,y)\in D também (-x,y)\in D, porque a definição do domínio usa x^{2} (ou seja, ({-x})^{2}=x^{2}). Considere a substituição de variáveis u=-x, v=y. Então dx\,dy = |{\det J}|\;du\,dv onde {\det J}=-1 (a transformação troca o sinal de x), mas tomando o módulo no jacobiano ao mudar a ordem de integração obtemos que a região é mapeada em si com sinal trocado na diferencial; de forma mais simples e direta:
\iint_{D} x\,dx\,dy = \iint_{D} (-u)\,du\,dv = -\iint_{D} u\,du\,dv.
Renomeando (u,v) novamente para (x,y) obtemos
\iint_{D} x\,dx\,dy = -\iint_{D} x\,dx\,dy.
Somando os dois lados dá
2\iint_{D} x\,dx\,dy = 0,
portanto
\iint_{D} x\,dx\,dy = 0.
Intuição curta e prática: a contribuição de x em (x,y) é cancelada pela contribuição de -x em (-x,y).

Passo 4

Mostro que \iint_{D} y\,dx\,dy = 0 por simetria em relação ao eixo x.
Argumento análogo ao do passo anterior: para cada (x,y)\in D também (x,-y)\in D, pois y aparece ao quadrado na definição do domínio. Fazendo a substituição u=x, v=-y e o mesmo raciocínio de que a integral muda de sinal, chega-se a
\iint_{D} y\,dx\,dy = -\iint_{D} y\,dx\,dy,
logo
\iint_{D} y\,dx\,dy = 0.
Intuição: contribuições positivas e negativas em y se cancelam porque a elipse é simétrica em relação ao eixo x.

Passo 5

Pelo Passo 2 temos que a integral procurada é a diferença das duas integrais calculadas nos Passos 3 e 4. Como ambas valem zero, a integral total também é zero.

Passo 6

(Aprovação alternativa — mudança linear para o disco unitário, útil para ver o mesmo fato de outra maneira.)
Fazer a transformação linear que envia a elipse para o disco unitário: defina
u=\sqrt{2}\,x,\qquad v=\sqrt{3}\,y.
Então a condição 2x^{2}+3y^{2}\leq 1 é equivalente a u^{2}+v^{2}\leq 1 (o disco unitário). Invertendo,
x=\frac{u}{\sqrt{2}},\qquad y=\frac{v}{\sqrt{3}}.
O jacobiano absoluto dessa transformação é
\left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{6}},
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dx\,dy=\frac{1}{\sqrt{6}}\,du\,dv.
Substituindo na integral temos
\iint_{D}(x-y)\,dx\,dy=\frac{1}{\sqrt{6}}\iint_{u^{2}+v^{2}\leq 1}\left(\frac{u}{\sqrt{2}}-\frac{v}{\sqrt{3}}\right)\,du\,dv.
Separando:
\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\iint_{u^{2}+v^{2}\leq 1}u\,du\,dv - \frac{1}{\sqrt{3}}\iint_{u^{2}+v^{2}\leq 1}v\,du\,dv\right).
Agora passe para coordenadas polares u=r\cos\theta,\;v=r\sin\theta. Então u=r\cos\theta e a integral angular de \cos\theta no intervalo [0,2\pi] é zero; o mesmo vale para \sin\theta. Formalmente,
\iint_{u^{2}+v^{2}\leq 1} u\,du\,dv = \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi} r\cos\theta \cdot r\,d\theta\,dr = \int_{0}^{1} r^{2}\,dr\cdot \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0,
e análogo para a integral com v. Assim a expressão toda é zero — chega-se ao mesmo resultado por outro caminho.

Passo 7

Resumo didático curto (para a prova): quando o domínio é simétrico em relação a um eixo (aqui a elipse é simétrica em relação a x e a y), a integral dupla de uma função que é ímpar em relação a essa variável será zero. Como x é ímpar em x e y é ímpar em y, ambas as integrais componentes se anulam, e portanto a integral de x-y sobre D é zero. Força — essa é uma estratégia rápida que costuma salvar tempo na prova.

Resposta

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