Explicando a linearidade: para integrais duplas vale que a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral. Ou seja, se f e g são integráveis em D então
\iint_{D}(f+g)=\iint_{D}f+\iint_{D}g,
e para c\in\mathbb{R}
\iint_{D} c f = c\iint_{D} f.
Aqui aplicamos isso com f(x,y)=x e g(x,y)=-y.
Passo 3
Mostro que \iint_{D} x\,dx\,dy = 0 por simetria em relação ao eixo y.
Razão detalhada: para cada ponto (x,y)\in D também (-x,y)\in D, porque a definição do domínio usa x^{2} (ou seja, ({-x})^{2}=x^{2}). Considere a substituição de variáveis u=-x, v=y. Então dx\,dy = |{\det J}|\;du\,dv onde {\det J}=-1 (a transformação troca o sinal de x), mas tomando o módulo no jacobiano ao mudar a ordem de integração obtemos que a região é mapeada em si com sinal trocado na diferencial; de forma mais simples e direta:
Intuição curta e prática: a contribuição de x em (x,y) é cancelada pela contribuição de -x em (-x,y).
Passo 4
Mostro que \iint_{D} y\,dx\,dy = 0 por simetria em relação ao eixo x.
Argumento análogo ao do passo anterior: para cada (x,y)\in D também (x,-y)\in D, pois y aparece ao quadrado na definição do domínio. Fazendo a substituição u=x, v=-y e o mesmo raciocínio de que a integral muda de sinal, chega-se a
\iint_{D} y\,dx\,dy = -\iint_{D} y\,dx\,dy,
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\iint_{D} y\,dx\,dy = 0.
Intuição: contribuições positivas e negativas em y se cancelam porque a elipse é simétrica em relação ao eixo x.
Passo 5
Pelo Passo 2 temos que a integral procurada é a diferença das duas integrais calculadas nos Passos 3 e 4. Como ambas valem zero, a integral total também é zero.
Passo 6
(Aprovação alternativa — mudança linear para o disco unitário, útil para ver o mesmo fato de outra maneira.)
Fazer a transformação linear que envia a elipse para o disco unitário: defina
u=\sqrt{2}\,x,\qquad v=\sqrt{3}\,y.
Então a condição 2x^{2}+3y^{2}\leq 1 é equivalente a u^{2}+v^{2}\leq 1 (o disco unitário). Invertendo,
Agora passe para coordenadas polares u=r\cos\theta,\;v=r\sin\theta. Então u=r\cos\theta e a integral angular de \cos\theta no intervalo [0,2\pi] é zero; o mesmo vale para \sin\theta. Formalmente,
e análogo para a integral com v. Assim a expressão toda é zero — chega-se ao mesmo resultado por outro caminho.
Passo 7
Resumo didático curto (para a prova): quando o domínio é simétrico em relação a um eixo (aqui a elipse é simétrica em relação a x e a y), a integral dupla de uma função que é ímpar em relação a essa variável será zero. Como x é ímpar em x e y é ímpar em y, ambas as integrais componentes se anulam, e portanto a integral de x-y sobre D é zero. Força — essa é uma estratégia rápida que costuma salvar tempo na prova.