Exercício 47. Um revendedor de componentes elétricos os compra em lotes de 10 peças. Seu controle de qualidade consiste em inspecionar 3 componentes selecionados aleatoriamente de um lote e aceitar o lote somente se os três componentes não são defeituosos. Sabe-se que 30 % dos lotes têm 4 componentes defeituosos e 70 % têm apenas 1 componente defeituoso. Dos três componentes selecionados de um lote, seja X o número de componentes defeituosos:
a) Obtenha a função de probabilidade de X
b) Qual a probabilidade de que um lote seja aceito?

Passo 1

Beleza, o que o exercício pede é: a gente tem lotes de 10 peças, cada lote pode ser do “tipo A” (4 peças defeituosas, acontece 30% dos casos) ou “tipo B” (1 peça defeituosa, acontece 70%). Daí a gente sorteia 3 peças sem reposição e define = número de peças defeituosas nesses 3.
Conteúdo: probabilidade condicional, lei da probabilidade total (mistura), e distribuição hipergeométrica (quando tira sem reposição). Vamos usar combinação e a fórmula da hipergeométrica para calcular tudo.

Passo 2

Primeiro, lembro a distribuição hipergeométrica. Se num lote de P(X=kmid D)= binomDk,binomN-Dn-kbinomNn itens tem P(X=k)=P(A),P(X=kmid D=4)+P(B),P(X=kmid D=1), defeituosos e bons, e eu tiro itens sem reposição, a probabilidade de sair exatamente defeituosos é
No nosso caso , . E temos dois valores possíveis de : 4 (tipo A) ou 1 (tipo B).
Também usamos a lei da probabilidade total (mistura):
com e .

Passo 3

Calculo as hipergeométricas dentro de cada tipo.
Tipo A ( PA(X=0)&=binom40binom63binom103 =1cdot20120=20120=0.1667, PA(X=1)&=binom41binom62120 =4cdot15120=60/120=0.50, PA(X=2)&=binom42binom61120 =6cdot6120=36/120=0.30, PA(X=3)&=binom43binom60120 =4cdot1120=4/120=0.0333 , 6 bons):
PB(X=0)&=binom10binom93binom103 =1cdot84120=0.70, PB(X=1)&=binom11binom92120 =1cdot36120=0.30, PB(X=2)&=0, PB(X=3)=0
Tipo B ( , 9 bons):

Passo 4

Agora monto a mistura:
P(X=k)=0.3,PA(X=k)+0.7,PB(X=k)
Para cada P(X=0)&=0.3cdot0.1667+0.7cdot0.70=0.05+0.49=0.54, P(X=1)&=0.3cdot0.50 +0.7cdot0.30=0.15+0.21=0.36, P(X=2)&=0.3cdot0.30 +0.7cdot0 =0.09+0 =0.09, P(X=3)&=0.3cdot0.0333+0.7cdot0 =0.01+0 =0.01 :

Passo 5

O lote é aceito se nenhum dos 3 estiver com defeito, ou seja, P(aceita)=P(X=0)=0.54 . A probabilidade de aceitar é

Resposta

Função de probabilidade de P(X=0)=0.54, P(X=1)=0.36, P(X=2)=0.09, P(X=3)=0.01 :
P(aceita)=0.54
Probabilidade de que um lote seja aceito (nenhum defeituoso):

Exercícios relacionados