Exercício 47. Um revendedor de componentes elétricos os compra em lotes de 10 peças. Seu controle de qualidade consiste em inspecionar 3 componentes selecionados aleatoriamente de um lote e aceitar o lote somente se os três componentes não são defeituosos. Sabe-se que
dos lotes têm 4 componentes defeituosos e
têm apenas 1 componente defeituoso. Dos três componentes selecionados de um lote, seja
o número de componentes defeituosos:
a) Obtenha a função de probabilidade de
b) Qual a probabilidade de que um lote seja aceito?
a) Obtenha a função de probabilidade de
b) Qual a probabilidade de que um lote seja aceito?
Passo 1
Beleza, o que o exercício pede é: a gente tem lotes de 10 peças, cada lote pode ser do “tipo A” (4 peças defeituosas, acontece 30% dos casos) ou “tipo B” (1 peça defeituosa, acontece 70%). Daí a gente sorteia 3 peças sem reposição e define
= número de peças defeituosas nesses 3.
Conteúdo: probabilidade condicional, lei da probabilidade total (mistura), e distribuição hipergeométrica (quando tira sem reposição). Vamos usar combinação e a fórmula da hipergeométrica para calcular tudo.
Conteúdo: probabilidade condicional, lei da probabilidade total (mistura), e distribuição hipergeométrica (quando tira sem reposição). Vamos usar combinação
Passo 2
Primeiro, lembro a distribuição hipergeométrica. Se num lote de
itens tem
defeituosos e
bons, e eu tiro
itens sem reposição, a probabilidade de sair exatamente
defeituosos é
No nosso caso
,
. E temos dois valores possíveis de
: 4 (tipo A) ou 1 (tipo B).
Também usamos a lei da probabilidade total (mistura):
Também usamos a lei da probabilidade total (mistura):
com
e
.
Passo 3
Calculo as hipergeométricas dentro de cada tipo.
Tipo A (
, 6 bons):
Tipo B (
, 9 bons):
Passo 4
Agora monto a mistura:
Para cada
:
Passo 5
O lote é aceito se nenhum dos 3 estiver com defeito, ou seja,
. A probabilidade de aceitar é
Resposta
Função de probabilidade de
:
Probabilidade de que um lote seja aceito (nenhum defeituoso):