Exercício 47. Usando a técnica por substituição, encontre as integrais indefinidas:
\int \frac{t^{5}+2 t}{\sqrt{t^{6}+6 t^{2}}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{t^{5}+2t}{\sqrt{t^{6}+6t^{2}}}\,dt
usando substituição. O conteúdo aqui é identificar uma expressão no denominador cuja derivada apareça no numerador, de modo a simplificar a integral.

Passo 2

Observamos que o radicando é t^{6}+6t^{2}. Fazendo a substituição
u = t^{6} + 6t^{2},
temos
du = \bigl(6t^{5} + 12t\bigr)\,dt = 6\bigl(t^{5}+2t\bigr)\,dt
ou seja
(t^{5}+2t)\,dt = \frac{du}{6}.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int \frac{t^{5}+2t}{\sqrt{t^{6}+6t^{2}}}\,dt, obtemos
\int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{du}{6} = \frac{1}{6}\int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Integramos u^{-\tfrac12}:
\frac{1}{6}\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{6}\cdot\frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} + C = \frac{1}{3}u^{\tfrac12} + C.
Voltando a u = t^{6}+6t^{2}, fica
\frac{1}{3}\sqrt{t^{6}+6t^{2}} + C.

Resposta

\frac{1}{3}\sqrt{t^{6}+6t^{2}} + C

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