Exercício 47. Usando a técnica por substituição, encontre as integrais indefinidas:
\int \frac{\cos (t)}{-\operatorname{sen}^{2}(t)} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\cos(t)}{-\operatorname{sen}^{2}(t)}\,dt
usando a técnica de substituição. Vamos reconhecer que aparece \operatorname{sen}(t) no denominador e sua derivada \cos(t) no numerador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \operatorname{sen}(t),
então
du = \cos(t)\,dt.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u, temos
\frac{\cos(t)}{-\operatorname{sen}^{2}(t)}\,dt = -\frac{\cos(t)}{\operatorname{sen}^{2}(t)}\,dt = -\frac{1}{u^{2}}\,du.

Passo 4

Integrando em u:
-\int u^{-2}\,du = -\frac{u^{-1}}{-1} = u^{-1}+C = \frac{1}{u}+C.

Passo 5

Voltando a variável original t, obtemos
\frac{1}{u}+C=\frac{1}{\operatorname{sen}(t)}+C.

Resposta

\int \frac{\cos(t)}{-\operatorname{sen}^{2}(t)}\,dt = \frac{1}{\operatorname{sen}(t)} + C.

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