Exercício 47. Usando a técnica por substituição, encontre as integrais indefinidas:
\quad \int \sin (x) \tan (\cos (x)) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função
\int \sin(x)\,\tan\bigl(\cos(x)\bigr)\,dx
usando a técnica de substituição. Precisamos identificar uma parte da integral cuja diferencial apareça multiplicando a outra parte.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos(x), \quad du = -\sin(x)\,dx
Logo
\sin(x)\,dx = -\,du
e a integral fica
\int \sin(x)\,\tan\bigl(\cos(x)\bigr)\,dx = -\int \tan(u)\,du.

Passo 3

Sabemos que
\int \tan(u)\,du = -\ln\bigl|\cos(u)\bigr| + C.
Portanto
-\int \tan(u)\,du = -\bigl[-\ln\bigl|\cos(u)\bigr|\bigr] + C = \ln\bigl|\cos(u)\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável original x, temos u=\cos(x), logo
\cos(u) = \cos\bigl(\cos(x)\bigr).
Assim, a primitiva é
\ln\bigl|\cos\bigl(\cos(x)\bigr)\bigr| + C.

Resposta

\boxed{\ln\bigl|\cos\bigl(\cos(x)\bigr)\bigr| + C}

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