Exercício 48. (Núcleo e imagem) Mostre com exemplo numérico a relação entre colunas linearmente dependentes e existência de soluções infinitas para A x=b.

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre, com um exemplo numérico, a relação entre colunas linearmente dependentes de uma matriz A e a existência de soluções infinitas para o sistema linear A x = b.
Informações relevantes que vou usar:
  • Preciso dar um exemplo concreto de matriz A cujas colunas sejam linearmente dependentes.
  • Preciso escolher um vetor b para o qual o sistema A x = b seja consistente (ou seja, exista pelo menos uma solução).
  • Vou demonstrar que, nesse caso, existem infinitas soluções e explicar por quê.
  • Também vou mostrar rapidamente que, se b não estiver no espaço gerado pelas colunas de A, então não há solução — para ficar claro o que depende do quê.

Passo 2

Escolho a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}
e o vetor
b = \begin{pmatrix}3\\[4pt] 6\end{pmatrix}.
Agora verifico a dependência linear das colunas de A. Denoto as colunas por
c_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Note que c_2 = 2\,c_1. Portanto as colunas são linearmente dependentes (existe um escalar não nulo, 2, tal que c_2 - 2 c_1 = 0).]

Passo 3

Verifico se b está no espaço gerado pelas colunas de A (isto é, se b é combinação linear de c_1 e c_2). Observando,
b = \begin{pmatrix}3\\[4pt]6\end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} = 3\,c_1.
Logo b pertence ao espaço coluna de A. Isso garante que o sistema A x = b é consistente (existe pelo menos uma solução).
Um exemplo imediato de solução particular é escolher x_p = \begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix}, pois
A x_p = 3\,c_1 + 0\,c_2 = b.]

Passo 4

Agora resolvo o sistema de forma algébrica para ver a família de soluções. Escrevendo as equações:
\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 3,\\[4pt] 2x_1 + 4x_2 = 6. \end{cases}
A segunda equação é exatamente o dobro da primeira (pois as colunas são dependentes), então só há uma equação independente:
x_1 + 2x_2 = 3.
Faço a parametrização: seja t\in\mathbb{R} o parâmetro que vou usar para x_2, isto é x_2 = t. Então
x_1 = 3 - 2t.
Portanto a solução geral é
x = \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3-2t\\[4pt] t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Isso mostra diretamente que há infinitas soluções (uma para cada t).]

Passo 5

Interpretação com conceito de núcleo (nullspace): resolvo A v = 0\) para ver o núcleo. As equações para \(A v = 0\) são \[\begin{cases} v_1 + 2v_2 = 0,\\[4pt] 2v_1 + 4v_2 = 0, \end{cases}
novamente redundantes, e da primeira vem v_1 = -2v_2\]. Tomando \(v_2 = 1 obtemos o vetor não nulo
v = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}
no núcleo de A. Ou seja, A v = 0 com v\neq 0. Isso é equivalente a dizer que as colunas de A são linearmente dependentes.
Agora o ponto conceitual importante (que você deve lembrar na prova): se x_p é uma solução particular de A x = b e v é qualquer vetor do núcleo (isto é, A v = 0), então para todo \alpha\in\mathbb{R}
A(x_p + \alpha v) = A x_p + \alpha A v = b + \alpha\cdot 0 = b.
Portanto cada x_p + \alpha v é também solução. Se o núcleo contém um vetor não nulo, então variando \alpha obtemos infinitas soluções. No nosso exemplo x_p = \begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix} e v=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}, daí a fórmula da família de soluções do passo anterior.]

Passo 6

Observação final importante (para não cair em pegadinhas na prova): o fato de as colunas serem linearmente dependentes não garante que todo b dê solução. Depende se b está ou não no espaço coluna. Por exemplo, se eu pegasse
b'=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},
não existe combinação a c_1 + b c_2 que produza b' porque as colunas estão alinhadas (são múltiplos uma da outra) e só geram vetores da forma (s,2s). Assim para b' o sistema seria inconsistente (nenhuma solução). Então a conclusão correta é: colunas dependentes \Rightarrow núcleo não-trivial; se além disso b pertence ao espaço coluna então existem infinitas soluções para A x = b.]

Resposta

\displaystyle x=\begin{pmatrix}3-2t\\[4pt]t\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}]

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