Exercício 48. (Núcleo e imagem) Mostre com exemplo numérico a relação entre colunas linearmente dependentes e existência de soluções infinitas para
.
Passo 1
O enunciado pede que eu mostre, com um exemplo numérico, a relação entre colunas linearmente dependentes de uma matriz
e a existência de soluções infinitas para o sistema linear
.
Informações relevantes que vou usar:
- Preciso dar um exemplo concreto de matriz
cujas colunas sejam linearmente dependentes. - Preciso escolher um vetor
para o qual o sistema seja consistente (ou seja, exista pelo menos uma solução). - Vou demonstrar que, nesse caso, existem infinitas soluções e explicar por quê.
- Também vou mostrar rapidamente que, se
não estiver no espaço gerado pelas colunas de , então não há solução — para ficar claro o que depende do quê.
Passo 2
Escolho a matriz
e o vetor
Agora verifico a dependência linear das colunas de
. Denoto as colunas por
Note que
. Portanto as colunas são linearmente dependentes (existe um escalar não nulo,
, tal que
).]
Passo 3
Verifico se
está no espaço gerado pelas colunas de
(isto é, se
é combinação linear de
e
). Observando,
Logo
pertence ao espaço coluna de
. Isso garante que o sistema
é consistente (existe pelo menos uma solução).
Um exemplo imediato de solução particular é escolher
, pois
Passo 4
Agora resolvo o sistema de forma algébrica para ver a família de soluções. Escrevendo as equações:
A segunda equação é exatamente o dobro da primeira (pois as colunas são dependentes), então só há uma equação independente:
Faço a parametrização: seja
o parâmetro que vou usar para
, isto é
. Então
Portanto a solução geral é
Isso mostra diretamente que há infinitas soluções (uma para cada
).]
Passo 5
Interpretação com conceito de núcleo (nullspace): resolvo
novamente redundantes, e da primeira vem
obtemos o vetor não nulo
no núcleo de
. Ou seja,
com
. Isso é equivalente a dizer que as colunas de
são linearmente dependentes.
Agora o ponto conceitual importante (que você deve lembrar na prova): se
é uma solução particular de
e
é qualquer vetor do núcleo (isto é,
), então para todo
Portanto cada
é também solução. Se o núcleo contém um vetor não nulo, então variando
obtemos infinitas soluções. No nosso exemplo
e
, daí a fórmula da família de soluções do passo anterior.]
Passo 6
Observação final importante (para não cair em pegadinhas na prova): o fato de as colunas serem linearmente dependentes não garante que todo
dê solução. Depende se
está ou não no espaço coluna. Por exemplo, se eu pegasse
não existe combinação
que produza
porque as colunas estão alinhadas (são múltiplos uma da outra) e só geram vetores da forma
. Assim para
o sistema seria inconsistente (nenhuma solução). Então a conclusão correta é: colunas dependentes
núcleo não-trivial; se além disso
pertence ao espaço coluna então existem infinitas soluções para
.]