Exercício 48: Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, enquanto a , b , c e d são quatro constantes diferentes de zero. Julgue as proposições:
© Var (aX+b)=a^2 Var(X).
© Var(a X-c Y)=a Var(X)+c Var(Y)-2 Cov(X, Y).
© Cov(aX+bY, cX+dY)=ac Var(X)+bd Var(Y)+(ad+bc) Cov(X, Y).
© Corr(aX+b, cX+d)=Corr(X, Y).

Passo 1

O exercício pede para julgar quatro proposições sobre variância, covariância e correlação de combinações lineares de variáveis aleatórias e . O conteúdo envolvido são as propriedades básicas:
  • .

Passo 2

Para a primeira proposição:
pois a constante desloca a média sem alterar a dispersão, e a variância de é .
Logo, esta é verdadeira.

Passo 3

Para a segunda proposição:
Mas a proposição dizia
que está faltando os quadrados em e em e o fator no último termo.
Portanto, é falsa.

Passo 4

Para a terceira proposição:
que coincide exatamente com o que foi dado.
Logo, é verdadeira.

Passo 5

Para a quarta proposição:
ou seja, vale se e se . Não depende de .
Portanto, é falsa.

Resposta

  1. Verdadeira
  2. Falsa
  3. Verdadeira
  4. Falsa

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