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© Var
, se Y e X forem independentes;
© se
, então Y e X são independentes;
© se
e se Y e X têm distribuição conjunta normal, então Y e X são independentes.
©
© Var
© se
© se
Passo 1
O exercício nos apresenta cinco afirmações sobre variância, covariância e independência de duas v.a.
e
. O conteúdo é probabilidade e estatística: precisamos usar as fórmulas gerais de variância de soma e diferença e o vínculo entre covariância nula e independência.
Passo 2
Lembrando as fórmulas corretas:
Além disso, se
e
são independentes, então e portanto . Contudo, o recíproco (covariância zero implica independência) vale geral apenas sob normalidade conjunta.
Passo 3
Analisando a afirmação 1:
“”.
Comparando com a fórmula correta, o sinal do termo de covariância está trocado. Logo, é falsa.
“”.
Comparando com a fórmula correta, o sinal do termo de covariância está trocado. Logo, é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação 2:
“”.
A fórmula correta tem soma de , não subtração. Portanto, também é falsa.
“”.
A fórmula correta tem soma de , não subtração. Portanto, também é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmação 3:
“, se e
forem independentes”.
Como independência implica , temos de fato . Essa é verdadeira.
“, se
Como independência implica , temos de fato . Essa é verdadeira.
Passo 6
Analisando a afirmação 4:
“Se , então e
são independentes”.
Em geral covariância zero não garante independência (salvo casos especiais). Então é falsa.
“Se , então
Em geral covariância zero não garante independência (salvo casos especiais). Então é falsa.
Passo 7
Analisando a afirmação 5:
“Se e e
têm distribuição conjunta normal, então
e
são independentes”.
Esse é um resultado clássico da normal multivariada: covariância nula implica independência. Logo é verdadeira.
“Se e
Esse é um resultado clássico da normal multivariada: covariância nula implica independência. Logo é verdadeira.
Resposta
As afirmações corretas são a 3 e a 5.