(0) Var(Y+X)=Var(Y)+Var(X)-2 Cov(Y, X);
© Var(Y-X)=Var(Y)-Var(X)-2 Cov(Y, X);
© Var (Y+X)=Var(Y)+Var(X), se Y e X forem independentes;
© se Cov(Y, X)=0, então Y e X são independentes;
© se Cov(Y, X)=0 e se Y e X têm distribuição conjunta normal, então Y e X são independentes.

Passo 1

O exercício nos apresenta cinco afirmações sobre variância, covariância e independência de duas v.a. X e Y. O conteúdo é probabilidade e estatística: precisamos usar as fórmulas gerais de variância de soma e diferença e o vínculo entre covariância nula e independência.

Passo 2

Lembrando as fórmulas corretas:
Além disso, se e são independentes, então e portanto . Contudo, o recíproco (covariância zero implica independência) vale geral apenas sob normalidade conjunta.

Passo 3

Analisando a afirmação 1:
”.
Comparando com a fórmula correta, o sinal do termo de covariância está trocado. Logo, é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação 2:
”.
A fórmula correta tem soma de , não subtração. Portanto, também é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação 3:
, se e forem independentes”.
Como independência implica , temos de fato . Essa é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmação 4:
“Se , então e são independentes”.
Em geral covariância zero não garante independência (salvo casos especiais). Então é falsa.

Passo 7

Analisando a afirmação 5:
“Se e e têm distribuição conjunta normal, então e são independentes”.
Esse é um resultado clássico da normal multivariada: covariância nula implica independência. Logo é verdadeira.

Resposta

As afirmações corretas são a 3 e a 5.

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