Exercício 49: Julgue as afirmativas. Em uma função densidade de probabilidade conjunta
, para as variáveis aleatórias contínuas X e Y :
- A função densidade de probabilidade marginal de
é:
.
- Se
é a função distribuição de probabilidade marginal de
, então
, para
derivável em todo o y .
- X e Y serão independentes se
.
-
.
- Se X e Y são independentes,
.
Passo 1
O enunciado pede para julgar cinco afirmativas sobre variáveis aleatórias contínuas
e
definidas por uma função densidade conjunta
. Vamos usar os conceitos de densidade marginal, função de distribuição, independência, esperança condicional e variância de esperança condicional.
Passo 2
A afirmação “a função densidade de probabilidade marginal de
é
” segue diretamente da definição de densidade marginal. Logo, é verdadeira.
Passo 3
A afirmação “se
é a função distribuição marginal de
, então
(para todo
em que
for derivável)” é a relação padrão entre função de distribuição e densidade. Logo, é verdadeira.
Passo 4
A afirmação “
e
serão independentes se
” é exatamente o critério de independência para densidades conjuntas. Logo, é verdadeira.
Passo 5
A afirmação “
” é o Teorema da Esperança Total (ou Lei da Iteração das Expectativas). Logo, é verdadeira.
Passo 6
A afirmação “se
e
são independentes, então
” é incorreta, pois quando são independentes
é constante em
, de modo que a variância dessa constante é zero, não
. Logo, é falsa.
Resposta
- Verdadeira
- Verdadeira
- Verdadeira
- Verdadeira
- Falsa