Exercício 49: Julgue as afirmativas. Em uma função densidade de probabilidade conjunta f(x, y), para as variáveis aleatórias contínuas X e Y :
  • A função densidade de probabilidade marginal de X é: f(x)=integral-infty^infty f(x, y) d y.
  • Se F(y) é a função distribuição de probabilidade marginal de Y, então f(y)=d F(y) / d y, para F(y) derivável em todo o y .
  • X e Y serão independentes se f(x, y)=f(x) f(y).
  • E[E(Y mid x)]=E[Y].
  • Se X e Y são independentes, V Y[E(X mid y)]=V[X].

Passo 1

O enunciado pede para julgar cinco afirmativas sobre variáveis aleatórias contínuas X e Y definidas por uma função densidade conjunta f(x,y). Vamos usar os conceitos de densidade marginal, função de distribuição, independência, esperança condicional e variância de esperança condicional.

Passo 2

A afirmação “a função densidade de probabilidade marginal de X é
f(x)=integral-infty^inftyf(x,y),dy
” segue diretamente da definição de densidade marginal. Logo, é verdadeira.

Passo 3

A afirmação “se F(y) é a função distribuição marginal de Y, então
f(y)=dF(y)dy
(para todo y em que F for derivável)” é a relação padrão entre função de distribuição e densidade. Logo, é verdadeira.

Passo 4

A afirmação “ X e Y serão independentes se
f(x,y)=f(x),f(y)
” é exatamente o critério de independência para densidades conjuntas. Logo, é verdadeira.

Passo 5

A afirmação “ E[E(Ymid x)]=E[Y]” é o Teorema da Esperança Total (ou Lei da Iteração das Expectativas). Logo, é verdadeira.

Passo 6

A afirmação “se X e Y são independentes, então
VYl[E(Xmid y)r]=V[X]
” é incorreta, pois quando são independentes E(Xmid Y=y)=E[X] é constante em y, de modo que a variância dessa constante é zero, não V[X]. Logo, é falsa.

Resposta

  1. Verdadeira
  2. Verdadeira
  3. Verdadeira
  4. Verdadeira
  5. Falsa

Exercícios relacionados