Exercício 51. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a infinito da função
.
Informações dadas:
- A expressão a analisar é
. - O limite é para
. - Deve-se retornar um único número (o valor do limite) se ele existir.
Passo 2
Estratégia útil (observação inicial, sem resolver ainda): a expressão tem uma base que tende a
e um expoente que tende a
, o que gera uma forma indeterminada do tipo
. Para tratar esse tipo de indeterminação costuma-se aplicar o logaritmo natural, porque o logaritmo transforma potências em produtos, o que facilita o cálculo do limite. Vou aplicar isso de forma justificada a seguir.
Propriedades de logaritmo que vou usar:
- Para
, . - A função
é contínua e a exponencial (ou ) é a sua inversa, portanto, se então .
Passo 3
Defino
Como
para todo
, posso aplicar
em ambos os lados:
O plano é calcular o limite de
quando
e depois recuperar o limite de
por exponenciação.
Passo 4
Para facilitar o cálculo, faço a substituição
. Então
corresponde a
. Reescrevendo:
Portanto o limite que preciso calcular é
Passo 5
Calcular
.
Justificativa com derivada / regra de l’Hôpital (explicação didática):
- Tanto o numerador
quanto o denominador tendem a quando , então temos uma forma e podemos usar a regra de l’Hôpital (ou reconhecer que esse quociente é justamente a definição do derivado de em ). - Derivando numerador e denominador em relação a
obtemos:
- Aplicando l’Hôpital:
Comentário intuitivo: isso diz que, perto de
,
se comporta como
(têm mesma inclinação na origem), por isso o quociente tende a
.
Passo 6
Concluo que
Como
e exponenciação é a função inversa contínua do
, segue que
Passo 7
Verificação numérica rápida (intuição): para
tem-se
. Para
tem-se aproximadamente
. O número
vale aproximadamente
, então os valores aproximados confirmam que a sequência se aproxima de
.