Exercício 51. Calcule:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a infinito da função \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}.
Informações dadas:
  • A expressão a analisar é \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}.
  • O limite é para x\to\infty.
  • Deve-se retornar um único número (o valor do limite) se ele existir.

Passo 2

Estratégia útil (observação inicial, sem resolver ainda): a expressão tem uma base que tende a 1 e um expoente que tende a +\infty, o que gera uma forma indeterminada do tipo 1^{\infty}. Para tratar esse tipo de indeterminação costuma-se aplicar o logaritmo natural, porque o logaritmo transforma potências em produtos, o que facilita o cálculo do limite. Vou aplicar isso de forma justificada a seguir.
Propriedades de logaritmo que vou usar:
  • Para y>0, \ln(y^{a}) = a\ln(y).
  • A função \ln é contínua e a exponencial \exp (ou e^{(\cdot)}) é a sua inversa, portanto, se \ln f(x)\to L então f(x)\to e^{L}.

Passo 3

Defino
y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}.
Como y>0 para todo x, posso aplicar \ln em ambos os lados:
\ln y = x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
O plano é calcular o limite de \ln y quando x\to\infty e depois recuperar o limite de y por exponenciação.

Passo 4

Para facilitar o cálculo, faço a substituição \displaystyle t=\frac{1}{x}. Então x\to\infty corresponde a t\to 0^{+}. Reescrevendo:
\ln y = x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{t}\ln(1+t).
Portanto o limite que preciso calcular é
\lim_{x\to\infty}\ln y = \lim_{t\to 0^{+}}\frac{\ln(1+t)}{t}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}.
Justificativa com derivada / regra de l’Hôpital (explicação didática):
  • Tanto o numerador \ln(1+t) quanto o denominador t tendem a 0 quando t\to 0, então temos uma forma 0/0 e podemos usar a regra de l’Hôpital (ou reconhecer que esse quociente é justamente a definição do derivado de \ln(1+t) em t=0).
  • Derivando numerador e denominador em relação a t obtemos:
\frac{d}{dt}\ln(1+t)=\frac{1}{1+t}, \qquad \frac{d}{dt}t=1.
  • Aplicando l’Hôpital:
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{1}{1+t}=\frac{1}{1+0}=1.
Comentário intuitivo: isso diz que, perto de t=0, \ln(1+t) se comporta como t (têm mesma inclinação na origem), por isso o quociente tende a 1.

Passo 6

Concluo que
\lim_{x\to\infty}\ln y = 1.
Como y>0 e exponenciação é a função inversa contínua do \ln, segue que
\lim_{x\to\infty} y = \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} = e^{1}=e.

Passo 7

Verificação numérica rápida (intuição): para x=10 tem-se \left(1+\frac{1}{10}\right)^{10}=(1,1)^{10}\approx 2,5937. Para x=100 tem-se aproximadamente 2,7048. O número e vale aproximadamente 2,71828, então os valores aproximados confirmam que a sequência se aproxima de e.

Resposta

e

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