Esse limite é direto porque 1/(1+x) é contínua em x=0, logo
\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1+0}=1.
Portanto, por L’Hôpital, o limite procurado é 1.
Passo 3
Explicação didática da derivada usada (de forma que seja compreensível na prova).
A derivada de \ln(1+x) foi o passo chave acima. Para entender por que \dfrac{d}{dx}\ln(1+x)=\dfrac{1}{1+x}, pense assim:
A função \ln t tem derivada \dfrac{1}{t} quando t>0. Isso é uma fórmula básica que pode ser aceita ou justificada separadamente.
Aqui t=1+x. Pelo composto (cadeia), a derivada de \ln(1+x) é \dfrac{d}{dx}\ln t\big|_{t=1+x}\cdot \dfrac{d}{dx}(1+x)=\dfrac{1}{1+x}\cdot 1=\dfrac{1}{1+x}.
Se não lembrar dessa regra, pode justificá-la a partir do limite que define a derivada:
que é exatamente o limite que estamos calculando; portanto a derivada em 0 é a própria resposta do problema — é uma forma alternativa de ver que o limite deve ser \dfrac{1}{1+0}=1.
Passo 4
Método 2 — série de Taylor (intuição e verificação rápida).
Outra maneira, útil para intuir o resultado, é expandir \ln(1+x) em série de potências para |x|<1:
Ao fazer x\to 0 todos os termos com x vão para zero, sobrando
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
Isso confirma o resultado e dá a expansão de como a expressão se aproxima de 1.
Passo 5
Método 3 — abordagem elementar por desigualdades (squeeze theorem).
Uma forma totalmente elementar, que não usa derivadas nem séries, é escrever \ln(1+x) como integral:
\ln(1+x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\,dt.
Se x>0, então para t\in(0,x) vale \dfrac{1}{1+x}\le \dfrac{1}{1+t}\le 1. Integrando essas desigualdades de 0 a x obtemos
\frac{x}{1+x}\le \ln(1+x)\le x.
Dividindo por x>0,
\frac{1}{1+x}\le \frac{\ln(1+x)}{x}\le 1.
Ao fazer x\to 0^{+}, as bordas \dfrac{1}{1+x} e 1 convergem para 1, então pelo teorema do confronto (squeeze) a fração também converge para 1.
Se x<0 (mas x>-1 para \ln(1+x) estar definida), o mesmo argumento com sinais trocados conduz à mesma conclusão. Assim, por esta via elementar também obtém-se
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
Passo 6
Resumo final e encorajamento:
Várias rotas (L’Hôpital, derivada direta, série de Taylor, desigualdades) dão o mesmo resultado.
A forma mais curta e prática na prova é aplicar L’Hôpital ou reconhecer que a expressão é a derivada de \ln(1+x) em 0.
A resposta final é simples e importante: o limite vale 1. Confia que já viu métodos alternativos suficientes para justificar isso na prova — e se bater nervoso, lembra da ideia: \ln(1+x) cresce como x quando x é pequeno, então a razão tende a 1.