Exercício 50. Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função no numerador é \ln(1+x).
  • A variável x tende a 0.
  • Avaliando em x=0 obtém-se \ln(1+0)=0 e o denominador x também vale 0, então a expressão tem a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Método 1 — usar a Regra de L’Hôpital (explicada passo a passo).
Primeiro, o que diz a Regra de L’Hôpital (versão básica): se
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0
e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq 0 perto de a (exceto possivelmente em a), e se o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
No nosso caso tome f(x)=\ln(1+x) e g(x)=x. Ambos tendem a 0 quando x\to 0, e são diferenciáveis perto de 0. Calculamos as derivadas:
  • Derivada do numerador: usar a regra da derivada do logaritmo. Para u(x)=1+x vale \dfrac{d}{dx}\ln u(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Aqui u'(x)=1, então
f'(x)=\frac{1}{1+x}.
  • Derivada do denominador:
g'(x)=1.
Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x}.
Esse limite é direto porque 1/(1+x) é contínua em x=0, logo
\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1+0}=1.
Portanto, por L’Hôpital, o limite procurado é 1.

Passo 3

Explicação didática da derivada usada (de forma que seja compreensível na prova).
A derivada de \ln(1+x) foi o passo chave acima. Para entender por que \dfrac{d}{dx}\ln(1+x)=\dfrac{1}{1+x}, pense assim:
  • A função \ln t tem derivada \dfrac{1}{t} quando t>0. Isso é uma fórmula básica que pode ser aceita ou justificada separadamente.
  • Aqui t=1+x. Pelo composto (cadeia), a derivada de \ln(1+x) é \dfrac{d}{dx}\ln t\big|_{t=1+x}\cdot \dfrac{d}{dx}(1+x)=\dfrac{1}{1+x}\cdot 1=\dfrac{1}{1+x}.
    Se não lembrar dessa regra, pode justificá-la a partir do limite que define a derivada:
\frac{d}{dx}\ln(1+x)\Big|_{x=0}=\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+(0+h))-\ln(1+0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)}{h},
que é exatamente o limite que estamos calculando; portanto a derivada em 0 é a própria resposta do problema — é uma forma alternativa de ver que o limite deve ser \dfrac{1}{1+0}=1.

Passo 4

Método 2 — série de Taylor (intuição e verificação rápida).
Outra maneira, útil para intuir o resultado, é expandir \ln(1+x) em série de potências para |x|<1:
\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots.
Essa série pode ser obtida integrando a série geométrica \dfrac{1}{1+t}=1-t+t^{2}-t^{3}+\cdots de t=0 a t=x. Dividindo por x,
\frac{\ln(1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{3}-\cdots.
Ao fazer x\to 0 todos os termos com x vão para zero, sobrando
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
Isso confirma o resultado e dá a expansão de como a expressão se aproxima de 1.

Passo 5

Método 3 — abordagem elementar por desigualdades (squeeze theorem).
Uma forma totalmente elementar, que não usa derivadas nem séries, é escrever \ln(1+x) como integral:
\ln(1+x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\,dt.
Se x>0, então para t\in(0,x) vale \dfrac{1}{1+x}\le \dfrac{1}{1+t}\le 1. Integrando essas desigualdades de 0 a x obtemos
\frac{x}{1+x}\le \ln(1+x)\le x.
Dividindo por x>0,
\frac{1}{1+x}\le \frac{\ln(1+x)}{x}\le 1.
Ao fazer x\to 0^{+}, as bordas \dfrac{1}{1+x} e 1 convergem para 1, então pelo teorema do confronto (squeeze) a fração também converge para 1.
Se x<0 (mas x>-1 para \ln(1+x) estar definida), o mesmo argumento com sinais trocados conduz à mesma conclusão. Assim, por esta via elementar também obtém-se
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.

Passo 6

Resumo final e encorajamento:
  • Várias rotas (L’Hôpital, derivada direta, série de Taylor, desigualdades) dão o mesmo resultado.
  • A forma mais curta e prática na prova é aplicar L’Hôpital ou reconhecer que a expressão é a derivada de \ln(1+x) em 0.
  • A resposta final é simples e importante: o limite vale 1. Confia que já viu métodos alternativos suficientes para justificar isso na prova — e se bater nervoso, lembra da ideia: \ln(1+x) cresce como x quando x é pequeno, então a razão tende a 1.

Resposta

1

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