Exercício 3.49. Demonstre que a curva \Gamma definida parametricamente por:
x(t)=\frac{1+t}{1-t}, y(t)=\frac{1}{1-t^{2}}, z(t)=\frac{1}{1+t}
é plana e encontre a equação do plano que a contém.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica \Gamma com as coordenadas:
x(t)=\frac{1+t}{1-t},\qquad y(t)=\frac{1}{1-t^{2}},\qquad z(t)=\frac{1}{1+t},
para t em algum intervalo onde as expressões são definidas.
O que se pede:
  • Mostrar que a curva \Gamma é plana (isto é, que todos os seus pontos pertencem a um mesmo plano do espaço).
  • Encontrar a equação desse plano.

Passo 2

Definição prática que usaremos: uma curva está contida em um plano se existem constantes a,b,c,d, nem todas zero, tais que a equação linear
a x + b y + c z + d = 0
seja satisfeita por todas as coordenadas (x(t),y(t),z(t)) da curva, para todo t. Então a estratégia é procurar constantes a,b,c,d que façam essa identidade valer para todo t.

Passo 3

Escrevemos a identidade com as coordenadas dadas:
a\frac{1+t}{1-t} + b\frac{1}{1-t^{2}} + c\frac{1}{1+t} + d = 0\qquad\text{para todo }t.
Para eliminar denominadores, multiplicamos ambos os lados por 1-t^{2}=(1-t)(1+t). Isso é útil porque 1-t^{2} anula todos os denominadores presentes. Após multiplicar obtemos
a\frac{1+t}{1-t}\,(1-t^{2}) + b + c\frac{1-t^{2}}{1+t} + d(1-t^{2}) = 0.
Agora simplificamos cada fração usando (1-t^{2})/(1-t)=1+t e (1-t^{2})/(1+t)=1-t. Assim a identidade vira
a(1+t)^{2} + b + c(1-t) + d(1-t^{2}) = 0\qquad\text{para todo }t.

Passo 4

Expandimos e agrupamos termos por potências de t. Primeiro expandir:
a(1+t)^{2} = a(1 + 2t + t^{2}), \qquad c(1-t)=c - c t, \qquad d(1-t^{2})=d - d t^{2}.
Somando tudo:
\bigl(a - d\bigr)t^{2} + \bigl(2a - c\bigr)t + \bigl(a + b + c + d\bigr) = 0\qquad\text{para todo }t.
Como isso é uma identidade polinomial em t válida para todos os t, cada coeficiente deve ser zero. Assim obtemos o sistema linear:
\begin{cases} a - d = 0,\\[4pt] 2a - c = 0,\\[4pt] a + b + c + d = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema: da primeira equação vem d=a. Da segunda vem c=2a. Substituindo na terceira:
a + b + (2a) + a = 0 \quad\Rightarrow\quad 4a + b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = -4a.
Há, portanto, uma família de soluções obtida multiplicando estas relações por qualquer escalar a. Escolhendo a=1 (para ter coeficientes simples) obtemos
a=1,\qquad b=-4,\qquad c=2,\qquad d=1.
Portanto uma equação válida do plano que contém \Gamma é
x - 4y + 2z + 1 = 0.
Como verificação rápida: para t=0 as coordenadas são (1,1,1) e substituindo na equação obtemos 1-4+2+1=0; para t=\tfrac12 obtém-se 3-\tfrac{16}{3}+\tfrac{4}{3}+1=0. Isso confirma que a equação realmente é satisfeita por pontos da curva.

Passo 6

Conclusão lógica: achamos constantes a,b,c,d não todas nulas que satisfazem a x(t)+b y(t)+c z(t)+d=0 para todo t. Isso mostra que todos os pontos da curva pertencem ao mesmo plano, ou seja, a curva é plana, e a equação do plano é a encontrada.

Resposta

x - 4y + 2z + 1 = 0

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