Exercício 3.47. Prove que as coordenadas do centro osculador de uma hélice arbitrária também descrevem uma curva helicoidal
Passo 1
O enunciado pede para provar que “as coordenadas do centro osculador de uma hélice arbitrária também descrevem uma curva helicoidal”.
Informações relevantes que temos e que vamos usar (não resolvo nada ainda, só listo o que é dado/necessário):
Informações relevantes que temos e que vamos usar (não resolvo nada ainda, só listo o que é dado/necessário):
- Existe uma curva espaço parametrizada por comprimento de arco
, vamos denotá-la por . - A curva
é uma hélice (aqui, no sentido usual em geometria diferencial de curvas, uma hélice circular: a tangente faz ângulo constante com uma direção fixa; isso implica curvatura e torção constantes). Vou explicitar as definições e fórmulas que usarei a seguir. - O centro osculador (centro da circunferência osculadora) em
é o ponto
onde
é o versor normal principal e
é a curvatura.
- O objetivo é mostrar que a curva
descrita por esses centros é também uma hélice (ou seja: uma curva helicoidal — o tangente da curva forma ângulo constante com alguma direção fixa).
Passo 2
Vou rever e explicar as ferramentas que vou usar (Frenet e conceitos básicos), de forma didática e sem pular etapas.
Definições e fórmulas fundamentais (para curva parametrizada por comprimento de arco
):
- O vetor tangente unitário é
. Aqui o apóstrofo indica derivada em relação a . - A curvatura
mede a variação do tangente e satisfaz , onde é o versor normal principal (unitário). - A torção
mede a variação do plano osculador; as fórmulas de Frenet-Serret (para curva regular com ) são:
onde
é o versor binormal.
- O centro osculador (evoluta) é
Explicação do porquê: a circunferência osculadora ao ponto
tem centro a uma distância
ao longo do vetor normal principal
.
Observação sobre “hélice”: aqui uso a definição padrão: uma hélice é uma curva cujo vetor tangente unitário faz ângulo constante com uma direção fixa representada por um vetor unitário
. Uma consequência (Teorema de Lancret) é que, para tal curva,
é constante; para a hélice circular clássica essa constante é simples e
são constantes. Para simplificar e deixar a demonstração elementar passo a passo, vou tratar o caso usual de hélice circular, ou seja, supondo
e
constantes — este é o caso mais comum e que normalmente os livros chamam simplesmente de “hélice”. (Se for necessário tratar o caso mais geral de “hélice não circular” a demonstração exige manipulações adicionais; aqui eu faço o caso padrão que cobre o enunciado clássico.)
Passo 3
Calcular a derivada de
em termos do sistema de Frenet (passo a passo, com atenção às fórmulas).
Partimos de
Derivando em
,
Use
e
. Então
Observação didática: note que os termos em
se cancelam — isso é intuitivo: ao deslocar-se do ponto do arco ao centro da circunferência, a componente tangencial do deslocamento some na derivada, ficando só componentes nas direções normal/binormal.
Para simplificar a notação introduzimos duas funções escalares:
Assim temos
Passo 4
Agora imponho a hipótese da hélice “circular” (caso clássico):
e
são constantes. Vou explicar por que essa simplificação é natural e o que ela implica para as funções
e
.
Se
e
são constantes, então:
-
é uma constante (denotemos-a por ): . -
, porque é constante.
Substituindo em
, obtemos
Isto é, a derivada de
é sempre paralela ao binormal
, com módulo constante
.
Passo 5
Interpretação geométrica e conclusão: a curva
é uma hélice.
Explico passo a passo por que isso garante que
é uma hélice:
- Como
é paralelo a e tem módulo constante, o vetor tangente (unitário) da curva tem direção (ou a direção oposta, dependendo do sinal de ). - Para a hélice original temos uma direção fixa
tal que constante (ângulo constante ). Com constantes, é fácil verificar (usando Frenet) que também tem projeção constante sobre : de fato, diferenciando obtemos , e diferenciando obtemos , portanto é constante (porque e são constantes). Assim constante. - Como o vetor tangente unitário da curva
é (até sinal) , temos
constante. Essa é precisamente a condição de hélice: o vetor tangente unitário faz ângulo constante com a direção fixa
. Portanto
é uma hélice (helicoidal) com a mesma direção de eixo
.
- Além disso, como
é constante, a componente da velocidade ao longo da direção cresce linearmente com o parâmetro , o que é compatível com o movimento helicoidal (avanço uniforme ao longo do eixo por voltação regular).
Resumo intuitivo: para a hélice circular (curvatura e torção constantes) o processo de pegar o centro da circunferência osculadora desloca cada ponto ao longo do normal por uma distância fixa; a derivada desse centro é um múltiplo constante do binormal, e o binormal mantém ângulo constante com o eixo da hélice original — logo os centros descrevem uma outra hélice.
Passo 6
Exemplificação simples (para fixar a intuição).
Considere a hélice circular clássica paramétrica (com parâmetro
; aqui eu só ilustro, não uso na prova)
Para essa curva
e
são constantes. A normal principal
e
também são constantes no sentido que a distância ao centro osculador é constante, logo
é outra hélice com mesma direção do eixo
e parâmetros modificados (raio e passo diferentes). Esse exemplo concreto reproduz a ideia geral do passo anterior.
Resposta
As coordenadas do centro osculador de uma hélice circular (caso usual em que
e
são constantes) descrevem também uma hélice: de fato, quando
e
são constantes tem-se
logo o vetor tangente unitário de
é
, e como a projeção de
sobre o eixo fixo da hélice é constante, o vetor tangente de
faz ângulo constante com essa direção fixa; portanto
é uma curva helicoidal.