Exercício 3.47. Prove que as coordenadas do centro osculador de uma hélice arbitrária também descrevem uma curva helicoidal

Passo 1

O enunciado pede para provar que “as coordenadas do centro osculador de uma hélice arbitrária também descrevem uma curva helicoidal”.
Informações relevantes que temos e que vamos usar (não resolvo nada ainda, só listo o que é dado/necessário):
  • Existe uma curva espaço parametrizada por comprimento de arco s, vamos denotá-la por \mathbf{r}(s).
  • A curva \mathbf{r}(s) é uma hélice (aqui, no sentido usual em geometria diferencial de curvas, uma hélice circular: a tangente faz ângulo constante com uma direção fixa; isso implica curvatura \kappa e torção \tau constantes). Vou explicitar as definições e fórmulas que usarei a seguir.
  • O centro osculador (centro da circunferência osculadora) em s é o ponto
\mathbf{C}(s)=\mathbf{r}(s)+\frac{1}{\kappa(s)}\,\mathbf{n}(s),
onde \mathbf{n}(s) é o versor normal principal e \kappa(s) é a curvatura.
  • O objetivo é mostrar que a curva \mathbf{C}(s) descrita por esses centros é também uma hélice (ou seja: uma curva helicoidal — o tangente da curva forma ângulo constante com alguma direção fixa).

Passo 2

Vou rever e explicar as ferramentas que vou usar (Frenet e conceitos básicos), de forma didática e sem pular etapas.
Definições e fórmulas fundamentais (para curva parametrizada por comprimento de arco s):
  • O vetor tangente unitário é \mathbf{T}(s)=\mathbf{r}'(s). Aqui o apóstrofo indica derivada em relação a s.
  • A curvatura \kappa(s) mede a variação do tangente e satisfaz \mathbf{T}'(s)=\kappa(s)\,\mathbf{n}(s), onde \mathbf{n}(s) é o versor normal principal (unitário).
  • A torção \tau(s) mede a variação do plano osculador; as fórmulas de Frenet-Serret (para curva regular com \kappa>0) são:
\begin{aligned} \mathbf{T}'(s)&=\kappa(s)\,\mathbf{n}(s),\\\ \mathbf{n}'(s)&=-\kappa(s)\,\mathbf{T}(s)+\tau(s)\,\mathbf{b}(s),\\\ \mathbf{b}'(s)&=-\tau(s)\,\mathbf{n}(s), \end{aligned}
onde \mathbf{b}(s)=\mathbf{T}(s)\times\mathbf{n}(s) é o versor binormal.
  • O centro osculador (evoluta) é
\mathbf{C}(s)=\mathbf{r}(s)+\frac{1}{\kappa(s)}\,\mathbf{n}(s).
Explicação do porquê: a circunferência osculadora ao ponto \mathbf{r}(s) tem centro a uma distância \rho=1/\kappa ao longo do vetor normal principal \mathbf{n}.
Observação sobre “hélice”: aqui uso a definição padrão: uma hélice é uma curva cujo vetor tangente unitário faz ângulo constante com uma direção fixa representada por um vetor unitário \mathbf{u}. Uma consequência (Teorema de Lancret) é que, para tal curva, \tau/\kappa é constante; para a hélice circular clássica essa constante é simples e \kappa,\tau são constantes. Para simplificar e deixar a demonstração elementar passo a passo, vou tratar o caso usual de hélice circular, ou seja, supondo \kappa e \tau constantes — este é o caso mais comum e que normalmente os livros chamam simplesmente de “hélice”. (Se for necessário tratar o caso mais geral de “hélice não circular” a demonstração exige manipulações adicionais; aqui eu faço o caso padrão que cobre o enunciado clássico.)

Passo 3

Calcular a derivada de \mathbf{C}(s) em termos do sistema de Frenet (passo a passo, com atenção às fórmulas).
Partimos de
\mathbf{C}(s)=\mathbf{r}(s)+\frac{1}{\kappa(s)}\,\mathbf{n}(s).
Derivando em s,
\mathbf{C}'(s)=\mathbf{r}'(s)+\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)'\mathbf{n}(s)+\frac{1}{\kappa(s)}\,\mathbf{n}'(s).
Use \mathbf{r}'(s)=\mathbf{T}(s) e \mathbf{n}'(s)=-\kappa(s)\mathbf{T}(s)+\tau(s)\mathbf{b}(s). Então
\begin{aligned} \mathbf{C}'(s) &=\mathbf{T}(s)+\left(\frac{1}{\kappa}\right)'\mathbf{n}(s)+\frac{1}{\kappa}\bigl(-\kappa\mathbf{T}+\tau\mathbf{b}\bigr)\\\ &=\mathbf{T}(s)+\left(\frac{1}{\kappa}\right)'\mathbf{n}(s)-\mathbf{T}(s)+\frac{\tau}{\kappa}\mathbf{b}(s)\\\ &=\left(\frac{\tau}{\kappa}\right)\mathbf{b}(s)+\left(\frac{1}{\kappa}\right)'\mathbf{n}(s). \end{aligned}
Observação didática: note que os termos em \mathbf{T} se cancelam — isso é intuitivo: ao deslocar-se do ponto do arco ao centro da circunferência, a componente tangencial do deslocamento some na derivada, ficando só componentes nas direções normal/binormal.
Para simplificar a notação introduzimos duas funções escalares:
\alpha(s):=\frac{\tau(s)}{\kappa(s)},\qquad \beta(s):=\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)'=-\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}.
Assim temos
\mathbf{C}'(s)=\alpha(s)\,\mathbf{b}(s)+\beta(s)\,\mathbf{n}(s).

Passo 4

Agora imponho a hipótese da hélice “circular” (caso clássico): \kappa e \tau são constantes. Vou explicar por que essa simplificação é natural e o que ela implica para as funções \alpha e \beta.
Se \kappa e \tau são constantes, então:
  • \alpha(s)=\dfrac{\tau}{\kappa} é uma constante (denotemos-a por m): \alpha(s)\equiv m.
  • \beta(s)=\left(\dfrac{1}{\kappa}\right)'=0, porque 1/\kappa é constante.
Substituindo em \mathbf{C}'(s), obtemos
\mathbf{C}'(s)=m\,\mathbf{b}(s).
Isto é, a derivada de \mathbf{C} é sempre paralela ao binormal \mathbf{b}(s), com módulo constante |\mathbf{C}'(s)|=|m|=\dfrac{|\tau|}{\kappa}.

Passo 5

Interpretação geométrica e conclusão: a curva \mathbf{C}(s) é uma hélice.
Explico passo a passo por que isso garante que \mathbf{C}(s) é uma hélice:
  • Como \mathbf{C}'(s) é paralelo a \mathbf{b}(s) e tem módulo constante, o vetor tangente (unitário) da curva \mathbf{C} tem direção \mathbf{b}(s) (ou a direção oposta, dependendo do sinal de m).
  • Para a hélice original temos uma direção fixa \mathbf{u} tal que \mathbf{u}\cdot\mathbf{T}(s)=\cos\theta constante (ângulo constante \theta). Com \kappa,\tau constantes, é fácil verificar (usando Frenet) que \mathbf{u} também tem projeção constante sobre \mathbf{b}(s): de fato, diferenciando \mathbf{u}\cdot\mathbf{T}=\cos\theta obtemos \mathbf{u}\cdot\mathbf{n}=0, e diferenciando \mathbf{u}\cdot\mathbf{n}=0 obtemos \tau\,(\mathbf{u}\cdot\mathbf{b})=\kappa\cos\theta, portanto \mathbf{u}\cdot\mathbf{b} é constante (porque \kappa,\tau e \cos\theta são constantes). Assim \mathbf{u}\cdot\mathbf{b}=C_0 constante.
  • Como o vetor tangente unitário da curva \mathbf{C} é (até sinal) \mathbf{b}(s), temos
\mathbf{u}\cdot\bigl(\text{vetor tangente unitário de }\mathbf{C}\bigr)=\mathbf{u}\cdot\mathbf{b}(s)=C_0,á
constante. Essa é precisamente a condição de hélice: o vetor tangente unitário faz ângulo constante com a direção fixa \mathbf{u}. Portanto \mathbf{C}(s) é uma hélice (helicoidal) com a mesma direção de eixo \mathbf{u}.
  • Além disso, como |\mathbf{C}'(s)| é constante, a componente da velocidade ao longo da direção \mathbf{u} cresce linearmente com o parâmetro s, o que é compatível com o movimento helicoidal (avanço uniforme ao longo do eixo por voltação regular).
Resumo intuitivo: para a hélice circular (curvatura e torção constantes) o processo de pegar o centro da circunferência osculadora desloca cada ponto ao longo do normal por uma distância fixa; a derivada desse centro é um múltiplo constante do binormal, e o binormal mantém ângulo constante com o eixo da hélice original — logo os centros descrevem uma outra hélice.

Passo 6

Exemplificação simples (para fixar a intuição).
Considere a hélice circular clássica paramétrica (com parâmetro t; aqui eu só ilustro, não uso na prova)
\mathbf{r}(t)=\bigl(a\cos t,\; a\sin t,\; bt\bigr).
Para essa curva \kappa e \tau são constantes. A normal principal \mathbf{n}(t) e 1/\kappa também são constantes no sentido que a distância ao centro osculador é constante, logo
\mathbf{C}(t)=\mathbf{r}(t)+\frac{1}{\kappa}\mathbf{n}(t)
é outra hélice com mesma direção do eixo z e parâmetros modificados (raio e passo diferentes). Esse exemplo concreto reproduz a ideia geral do passo anterior.

Resposta

As coordenadas do centro osculador de uma hélice circular (caso usual em que \kappa e \tau são constantes) descrevem também uma hélice: de fato, quando \kappa e \tau são constantes tem-se
\mathbf{C}'(s)=\frac{\tau}{\kappa}\,\mathbf{b}(s),
logo o vetor tangente unitário de \mathbf{C} é \pm\mathbf{b}(s), e como a projeção de \mathbf{b}(s) sobre o eixo fixo da hélice é constante, o vetor tangente de \mathbf{C} faz ângulo constante com essa direção fixa; portanto \mathbf{C}(s) é uma curva helicoidal.

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