Exercício 50: Sendo Y e X duas variáveis aleatórias, é correto afirmar que:
-
;
-
;
- Var
, se Y e X forem independentes;
- se
, então Y e X são não correlacionadas;
- se
e se Y e X têm distribuição conjunta normal, então Y e X são independentes.
Passo 1
O enunciado lista cinco afirmações sobre variância e covariância de duas variáveis aleatórias
e
. Vamos verificar cada uma usando as propriedades fundamentais de variância de combinação linear e a relação entre independência, covariância zero e não correlação.
Passo 2
A propriedade geral para qualquer constantes
é
Escolhendo
e
obtemos
e escolhendo
,
obtemos
Logo, as duas primeiras afirmações estão corretas.
Passo 3
Se
e
forem independentes, então por definição
. Substituindo em
ficamos com
ficamos com
ou seja, a terceira afirmação também é correta.
Passo 4
Por definição, “não correlacionadas” significa exatamente que a covariância é zero. Logo, se
então e
são não correlacionadas. Isso confirma a quarta afirmação.
então
Passo 5
Num caso especial de distribuição conjunta normal, covariância zero implica independência (essa é uma propriedade típica da normal multivariada). Assim, se
e
é conjunto normal, então
e
são independentes, validando a quinta afirmação.
Resposta
Todas as cinco afirmações listadas estão corretas.