Exercício 50: Sendo Y e X duas variáveis aleatórias, é correto afirmar que:
  • Var(Y+X)=Var(Y)+Var(X)+2 Cov(Y, X);
  • Var(Y-X)=Var(Y)+Var(X)-2 Cov(Y, X);
  • Var (Y+X)=Var(Y)+Var(X), se Y e X forem independentes;
  • se Cov(Y, X)=0, então Y e X são não correlacionadas;
  • se Cov(Y, X)=0 e se Y e X têm distribuição conjunta normal, então Y e X são independentes.

Passo 1

O enunciado lista cinco afirmações sobre variância e covariância de duas variáveis aleatórias Y e X. Vamos verificar cada uma usando as propriedades fundamentais de variância de combinação linear e a relação entre independência, covariância zero e não correlação.

Passo 2

A propriedade geral para qualquer constantes a,b é
Var(a,Y + b,X) = a^2,Var(Y) + b^2,Var(X) + 2,a,b,Cov(Y,X)
Escolhendo a=1 e b=1 obtemos
Var(Y+X) =Var(Y)+Var(X)+2,Cov(Y,X),
e escolhendo a=1, b=-1 obtemos
Var(Y - X) =Var(Y)+Var(X)-2,Cov(Y,X)
Logo, as duas primeiras afirmações estão corretas.

Passo 3

Se Y e X forem independentes, então por definição Cov(Y,X)=0. Substituindo em
Var(Y+X)=Var(Y)+Var(X)+2,Cov(Y,X)
ficamos com
Var(Y+X)=Var(Y)+Var(X),
ou seja, a terceira afirmação também é correta.

Passo 4

Por definição, “não correlacionadas” significa exatamente que a covariância é zero. Logo, se
Cov(Y,X)=0
então Y e X são não correlacionadas. Isso confirma a quarta afirmação.

Passo 5

Num caso especial de distribuição conjunta normal, covariância zero implica independência (essa é uma propriedade típica da normal multivariada). Assim, se Cov(Y,X)=0 e (Y,X) é conjunto normal, então Y e X são independentes, validando a quinta afirmação.

Resposta

Todas as cinco afirmações listadas estão corretas.

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