Exercício 1. ( OO,4O ponto cada item ) Provar por definição os limites seguintes:
\quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x}=-\infty

Passo 1

O que o enunciado pede: provar, por definição, que
\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x} = -\infty.
Informações dadas: a função é f(x)=\dfrac{1}{x} definida para x\neq 0. O limite é tomado quando x tende a 0 pela esquerda, ou seja, por valores x<0 que se aproximam de 0.

Passo 2

Definição formal que vamos usar (versão para limite infinito negativo pela esquerda): dizer que
\lim_{x\to 0^-} f(x) = -\infty
significa: para todo M>0 existe \delta>0 tal que, sempre que x satisfaz
-\delta < x < 0,
então
f(x) < -M.
Explicando em palavras: dado qualquer número positivo M (por exemplo M=1000), conseguimos encontrar uma janela à esquerda de 0 (tamanho \delta) tal que, dentro dessa janela (mais perto de 0 pela esquerda), o valor de f(x) fica menor do que -M (ou seja, arbitrariamente negativo).

Passo 3

Tomemos um M>0 arbitrário. A tarefa é encontrar um \delta>0 que dependa de M e que garanta que, para todo x com -\delta<x<0, valha \dfrac{1}{x}<-M.
Uma tentativa natural é resolver a desigualdade \dfrac{1}{x} < -M para x sabendo que x<0. Vamos manipular essa desigualdade com cuidado nas trocas de sinal.

Passo 4

Começamos pela hipótese que queremos obter: queremos que x satisfaça
\frac{1}{x} < -M.
Como x<0, multiplicar ambos os lados por x (número negativo) inverte a desigualdade:
1 > -M x.
Agora dividimos ambos os lados por -M (que é negativo), o que novamente inverte a desigualdade; assim obtemos
\frac{1}{-M} < x.
Reescrevendo, isto é
-\,\frac{1}{M} < x.
Juntando com x<0, concluímos que
-\,\frac{1}{M} < x < 0
implica
\frac{1}{x} < -M.
Portanto, se garantirmos que x esteja no intervalo \bigl(-\tfrac{1}{M},0\bigr), então 1/x<-M.

Passo 5

Escolhemos então
\delta = \frac{1}{M}.
Note que \delta>0 porque M>0. Para esse \delta, sempre que -\delta < x < 0 (isto é, x está à esquerda de 0, mas dentro da janela de raio \delta), pelas desigualdades do passo anterior temos \dfrac{1}{x} < -M. Isso é exatamente o que exige a definição: para o M>0 dado encontramos \delta>0 tal que -\delta<x<0 \Rightarrow \dfrac{1}{x}<-M.

Passo 6

Como a construção funciona para qualquer M>0 arbitrário (basta tomar \delta=1/M), concluímos, pela definição formal, que
\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x} = -\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{1}{x}=-\infty

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