Exercício 1. ( OO,4O ponto cada item ) Provar por definição os limites seguintes:
Passo 1
O que o enunciado pede: provar, por definição, que
Informações dadas: a função é
definida para
. O limite é tomado quando
tende a
pela esquerda, ou seja, por valores
que se aproximam de
.
Passo 2
Definição formal que vamos usar (versão para limite infinito negativo pela esquerda): dizer que
significa: para todo
existe
tal que, sempre que
satisfaz
então
Explicando em palavras: dado qualquer número positivo
(por exemplo
), conseguimos encontrar uma janela à esquerda de
(tamanho
) tal que, dentro dessa janela (mais perto de
pela esquerda), o valor de
fica menor do que
(ou seja, arbitrariamente negativo).
Passo 3
Tomemos um
arbitrário. A tarefa é encontrar um
que dependa de
e que garanta que, para todo
com
, valha
.
Uma tentativa natural é resolver a desigualdade
para
sabendo que
. Vamos manipular essa desigualdade com cuidado nas trocas de sinal.
Passo 4
Começamos pela hipótese que queremos obter: queremos que
satisfaça
Como
, multiplicar ambos os lados por
(número negativo) inverte a desigualdade:
Agora dividimos ambos os lados por
(que é negativo), o que novamente inverte a desigualdade; assim obtemos
Reescrevendo, isto é
Juntando com
, concluímos que
implica
Portanto, se garantirmos que
esteja no intervalo
, então
.
Passo 5
Escolhemos então
Note que
porque
. Para esse
, sempre que
(isto é,
está à esquerda de
, mas dentro da janela de raio
), pelas desigualdades do passo anterior temos
. Isso é exatamente o que exige a definição: para o
dado encontramos
tal que
.
Passo 6
Como a construção funciona para qualquer
arbitrário (basta tomar
), concluímos, pela definição formal, que