Exercício 51. Calcule \iint_{D} \frac{1}{4-3 x^{2}-y^{2}} d x d y, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 3 x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}.
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla sobre a região \;D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 3x^2+y^2\le 1\}
da função \displaystyle \frac{1}{4-3x^2-y^2}.
O que se pede é calcular
\iint_{D}\frac{1}{4-3x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy.
Informações importantes extraídas do enunciado:
A região D é o interior da elipse \;3x^{2}+y^{2}=1.
O integrando tem denominador 4-3x^2-y^2; é necessário checar se esse denominador anula-se dentro da região (pois isso afetaria a existência da integral).
Não há outras condições ou parâmetros.
Passo 2
Vamos simplificar a região elíptica por uma transformação linear que a transforme num disco unitário: defina novas variáveis \;u=\sqrt{3}\,x e \;v=y. Aqui a ideia é “alongar” o eixo x por \sqrt{3} para que a equação da elipse vire u^{2}+v^{2}\le1.
Explicando por que isso funciona:
A elipse é dada por \;3x^{2}+y^{2}\le1.
Substituindo x=\dfrac{u}{\sqrt{3}} e y=v obtemos \;3\left(\dfrac{u}{\sqrt{3}}\right)^{2}+v^{2}=u^{2}+v^{2}, portanto a região em (u,v) é o disco \;B=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le1\}.
Agora calculemos o fator de escala (Jacobiano) dessa mudança:
x=\dfrac{u}{\sqrt{3}},\qquad y=v.
A matriz Jacobiana J da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é
J=\begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\[4pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{3}} & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante é \det J=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Portanto
\dfrac{1}{\sqrt{3}} vem do Jacobiano da mudança (u,v)\mapsto(x,y).
r\,dr\,d\theta vem do Jacobiano das coordenadas polares.
O integrando depende apenas de r, pois u^{2}+v^{2}=r^{2}.
Antes de integrar, verifiquemos se o denominador é sempre positivo no intervalo de integração: como 0\le r\le1, temos 4-r^{2}\ge 3>0. Portanto não há singularidade no interior do domínio e a integral é bem definida.
Passo 5
Vamos calcular a integral radial
\int_{0}^{1}\frac{r}{4-r^{2}}\,dr.
Fazemos a substituição simples \;t=4-r^{2}. Então \;dt=-2r\,dr, isto é \;r\,dr=-\dfrac{1}{2}\,dt.
Quando r=0 temos t=4; quando r=1 temos t=3. Assim