Exercício 54. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral dupla
onde
é o disco centrado na origem com raio
, ou seja
Informações dadas e o que se pede:
- Integrando:
. - Região de integração: disco de raio
(todos os pontos com ). - Objetivo: calcular o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Observação sobre a simetria e escolha de coordenadas (explicação didática).
- A região
é um disco (simétrica em torno da origem) e a função integranda depende apenas de . Isso sugere usar coordenadas polares , pois em coordenadas polares a expressão vira e a região fica com limites simples. - Definição das coordenadas polares:
com e variando entre e . - Jacobiano (por que aparece o fator
na área): a transformação tem matriz jacobiana O determinante dessa matriz é Então . Isso é a razão pela qual aparece o fator na medida em coordenadas polares.]
Passo 3
Transformação da integral para coordenadas polares.
- Substituindo
e , a integral fica - Note que a integranda agora é função apenas de
(independe de ), o que facilita muito a integração.
Passo 4
Separação das integrais e integração em
.
- Como a parte dependente de
é trivial (não aparece na integranda), podemos separar: - A integral em
é simplesmente - Logo a integral original vale
Passo 5
Cálculo da integral radial por substituição (a parte que precisa de cuidado).
- Fazer a substituição
- Quando
, . Quando , . - Substituindo na integral radial:
- Calcular a primitiva:
. - Portanto
Passo 6
Combinar o fator angular com o resultado radial e concluir.
- Lembrando do fator
da integração em , o valor da integral original é - Comentário final rápido (didático): a integral converge sem problema porque a função é contínua e limitada no disco fechado; o uso de coordenadas polares torna a conta direta por causa da simetria radial.