Exercício 54. Calcule \iint_{D} \frac{1}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d x d y, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\iint_{D} \frac{1}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\,dx\,dy,
onde D é o disco centrado na origem com raio 2, ou seja
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
Informações dadas e o que se pede:
  • Integrando: \dfrac{1}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{2}}.
  • Região de integração: disco de raio 2 (todos os pontos com x^{2}+y^{2}\le 4).
  • Objetivo: calcular o valor numérico da integral dupla sobre D.

Passo 2

Observação sobre a simetria e escolha de coordenadas (explicação didática).
  • A região D é um disco (simétrica em torno da origem) e a função integranda depende apenas de x^{2}+y^{2}. Isso sugere usar coordenadas polares (r,\theta), pois em coordenadas polares a expressão x^{2}+y^{2} vira r^{2} e a região D fica com limites simples.
  • Definição das coordenadas polares: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,com r\ge0 e \theta variando entre 0 e 2\pi.
  • Jacobiano (por que aparece o fator r na área): a transformação (r,\theta)\mapsto(x,y) tem matriz jacobiana J=\begin{pmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial\theta\\[4pt] \partial y/\partial r & \partial y/\partial\theta \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}.O determinante dessa matriz é \det J = r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r.Então dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Isso é a razão pela qual aparece o fator r na medida em coordenadas polares.]

Passo 3

Transformação da integral para coordenadas polares.
  • Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy=r\,dr\,d\theta, a integral fica \iint_{D} \frac{1}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\,dx\,dy =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\frac{1}{(1+r^{2})^{2}}\;r\,dr\,d\theta.
  • Note que a integranda agora é função apenas de r (independe de \theta), o que facilita muito a integração.

Passo 4

Separação das integrais e integração em \theta.
  • Como a parte dependente de \theta é trivial (não aparece na integranda), podemos separar: \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\frac{r}{(1+r^{2})^{2}}\,dr\,d\theta =\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_{0}^{2}\frac{r}{(1+r^{2})^{2}}\,dr\right).
  • A integral em \theta é simplesmente \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
  • Logo a integral original vale 2\pi\int_{0}^{2}\frac{r}{(1+r^{2})^{2}}\,dr.

Passo 5

Cálculo da integral radial por substituição (a parte que precisa de cuidado).
  • Fazer a substituição u = 1+r^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2r\,dr \quad\Rightarrow\quad r\,dr=\frac{du}{2}.
  • Quando r=0, u=1. Quando r=2, u=1+2^{2}=5.
  • Substituindo na integral radial: \int_{0}^{2}\frac{r}{(1+r^{2})^{2}}\,dr =\int_{u=1}^{5}\frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\int_{1}^{5}u^{-2}\,du.
  • Calcular a primitiva: \displaystyle \int u^{-2}\,du = -u^{-1}+C.
  • Portanto \frac{1}{2}\int_{1}^{5}u^{-2}\,du=\frac{1}{2}\big[-u^{-1}\big]_{1}^{5} =\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{5}+1\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{2}{5}.

Passo 6

Combinar o fator angular com o resultado radial e concluir.
  • Lembrando do fator 2\pi da integração em \theta, o valor da integral original é 2\pi\cdot\frac{2}{5}=\frac{4\pi}{5}.
  • Comentário final rápido (didático): a integral converge sem problema porque a função é contínua e limitada no disco fechado; o uso de coordenadas polares torna a conta direta por causa da simetria radial.

Resposta

\dfrac{4\pi}{5}

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