Exercício 51:
Seja (
) uma ordem parcial limitada. Mostre que
(i)
e
(ii)
.
Seja (
(i)
Passo 1
O exercício pede pra gente mostrar que, num conjunto parcialmente ordenado e limitado (ou seja, existe menor elemento ⟂ e maior elemento T), o supremo do conjunto vazio é ⟂ e o ínfimo do conjunto vazio é T. Vamos usar as definições de supremo e ínfimo em ordens parciais e o fato de que sentenças que quantificam sobre o conjunto vazio são sempre verdadeiras.
Passo 2
Lembrando a definição de supremo: dado um subconjunto S de A, um elemento u∈A é supremo de S se (i) u é um limitador superior de S, isto é, ∀x∈S: x≤u, e (ii) u é o menor limitador superior, ou seja, para todo v∈A tal que ∀x∈S: x≤v, temos u≤v.
Passo 3
Agora aplicamos à situação S=∅. Primeiro, qualquer elemento u∈A satisfaz vacuamente ∀x∈∅: x≤u, pois não há x para violar a condição. Logo todo elemento de A é limitador superior de ∅. Portanto o conjunto de upper bounds de ∅ é A inteiro. Como queremos o menor desses upper bounds, e pelo enunciado existe elemento mínimo ⟂ em A, concluímos que
Passo 4
Análogo para o ínfimo: um elemento l∈A é limitador inferior de S se ∀x∈S: l≤x, e é maior inferior se, para todo w∈A que seja limitador inferior de S, vale w≤l. Para S=∅, qualquer l∈A satisfaz vacuamente ∀x∈∅: l≤x, então todo A são lower bounds de ∅. O ínfimo é o maior entre esses, e esse maior elemento é T. Assim