Exercício 55:
Sejam R:=(a, <=) um reticulado e x, y, z, w in a.
(i) Seja x <= y <= z. Mostre que x vee y=y wed>= z e(x wed>= y) vee(y wed>= z)=y=(x vee y) wed>=(x vee z).

Passo 1

Temos um reticulado R=(A,<=) e elementos x,y,zin A tais que x<= y<= z. O conteúdo é teoria de reticulados, usando operações de supremo (join) e ínfimo (meet). Vamos usar propriedades de absorção, comutatividade e monotonicidade para provar as igualdades.

Passo 2

Como x<= y, pela propriedade de absorção temos xvee y=y. E como y<= z, pela absorção temos ywed>= z=y. Logo, tem-se xvee y=y=ywed>= z, ou seja, xvee y=ywed>= z.

Passo 3

Para (xwed>= y)vee(ywed>= z), note que x<= y implica xwed>= y=x e y<= z implica ywed>= z=y. Portanto (xwed>= y)vee(ywed>= z)=xvee y. E já mostramos que xvee y=y. Logo (xwed>= y)vee(ywed>= z)=y.

Passo 4

Para (xvee y)wed>=(yvee z), note que x<= y xvee y=y e y<= z yvee z=z. Assim (xvee y)wed>=(yvee z)=ywed>= z, e já sabemos ywed>= z=y. Logo (xvee y)wed>=(yvee z)=y.

Resposta

As igualdades desejadas são:
xvee y=ywed>= z,
(xwed>= y)vee(ywed>= z)=y
e
(xvee y)wed>=(yvee z)=y.

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