Exercício 55:
Sejam
um reticulado e
.
(i) Seja
. Mostre que
.
Sejam
(i) Seja
Passo 1
Temos um reticulado
e elementos
tais que
. O conteúdo é teoria de reticulados, usando operações de supremo (join) e ínfimo (meet). Vamos usar propriedades de absorção, comutatividade e monotonicidade para provar as igualdades.
Passo 2
Como
, pela propriedade de absorção temos
. E como
, pela absorção temos
. Logo, tem-se
, ou seja,
.
Passo 3
Para
, note que
implica
e
implica
. Portanto
. E já mostramos que
. Logo
.
Passo 4
Para
, note que
dá
e
dá
. Assim
, e já sabemos
. Logo
.
Resposta
As igualdades desejadas são:
e