Exercício 55:
Sejam
um reticulado e
.
(iii) Seja
e
. Mostre que
.
Sejam
(iii) Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um reticulado
, sempre que
e
então
. O conteúdo é teoria de reticulados, em particular a monotonicidade do operador
(meet), que é o maior limitante inferior de dois elementos.
Passo 2
Em um reticulado, por definição de meet, temos sempre
e
. Isso decorre de
ser um limitante inferior de
e
.
Passo 3
Como
e estamos supondo
, pela transitividade da ordem segue:
Portanto
Logo
. Assim
é um limitante inferior comum de
e
.
Passo 4
Por definição de reticulado,
é o maior entre todos os limitantes inferiores de
e
. Como
também é um deles, concluímos que:
Resposta
x \wedge z \le y \wedge w