Exercício 55:
Sejam R:=(a, <=) um reticulado e x, y, z, w in a.
(iii) Seja x <= y e z <= w. Mostre que x wed>= z <= y wed>= w.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um reticulado (a,<=), sempre que x<= y e z<= w então xwed>= z<= ywed>= w. O conteúdo é teoria de reticulados, em particular a monotonicidade do operador wed>= (meet), que é o maior limitante inferior de dois elementos.

Passo 2

Em um reticulado, por definição de meet, temos sempre xwed>= z<= x e xwed>= z<= z. Isso decorre de xwed>= z ser um limitante inferior de x e z.

Passo 3

Como xwed>= z<= x e estamos supondo x<= y, pela transitividade da ordem segue:
xwed>= z<= x<= y
Portanto xwed>= z<= y. De modo análogo, usando xwed>= z<= z e z<= w, obtemos:
xwed>= z<= z<= w
Logo xwed>= z<= w. Assim xwed>= z é um limitante inferior comum de y e w.

Passo 4

Por definição de reticulado, ywed>= w é o maior entre todos os limitantes inferiores de y e w. Como xwed>= z também é um deles, concluímos que:
xwed>= z<= ywed>= w

Resposta

x \wedge z \le y \wedge w

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