Exercício 51: Sejam X, Y e Z variáveis aleatórias quaisquer. Então:
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Passo 1
O enunciado pede para demonstrar cinco propriedades fundamentais de esperança, variância e covariância de variáveis aleatórias
. Vamos usar as definições
e a linearidade de , além de expandir quadrados para variância de somas.
Passo 2
Demonstração de .
Pela definição de esperança discreta (ou contínua) e linearidade da soma dentro da soma (ou integral), temos
Pela definição de esperança discreta (ou contínua) e linearidade da soma dentro da soma (ou integral), temos
Passo 3
Demonstração de .
Esta é exatamente a definição de covariância, portanto não há mais o que provar. A covariância é definida por
Esta é exatamente a definição de covariância, portanto não há mais o que provar. A covariância é definida por
Passo 4
Demonstração de .
Começamos da definição
Começamos da definição
Expandindo,
Logo
Mas
então
Passo 5
Demonstração de
.
Usamos
.
Usamos
Expandindo o quadrado,
e usando linearidade de e de , além de , obtemos
isto é,
Passo 6
Demonstração de .
Pela definição de variância, e sabemos que . Logo
Pela definição de variância, e sabemos que . Logo
Resposta
As demonstrações acima provam que: