Exercício 51: Sejam X, Y e Z variáveis aleatórias quaisquer. Então:
  • Var(X+Y+Z)=Var(X)+Var(Y)+Var(Z)+2Cov(X,Y)+2Cov(X,Z)+2Cov(Y,Z).
  • Var(2 X+4)=4 Var(X).
  • E(X+Y)=E(X)+E(Y).
  • Cov(X, Y)=E(XY)-E(X) cdot E(Y).
  • E(X^2) >= [E(X)]^2.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar cinco propriedades fundamentais de esperança, variância e covariância de variáveis aleatórias . Vamos usar as definições
e a linearidade de , além de expandir quadrados para variância de somas.

Passo 2

Demonstração de .
Pela definição de esperança discreta (ou contínua) e linearidade da soma dentro da soma (ou integral), temos

Passo 3

Demonstração de .
Esta é exatamente a definição de covariância, portanto não há mais o que provar. A covariância é definida por

Passo 4

Demonstração de .
Começamos da definição
Expandindo,
Logo
Mas
então

Passo 5

Demonstração de
.
Usamos
Expandindo o quadrado,
e usando linearidade de e de , além de , obtemos
isto é,

Passo 6

Demonstração de .
Pela definição de variância, e sabemos que . Logo

Resposta

As demonstrações acima provam que:

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