Exercício 52. Calcule
, onde
e
o tetraedro formado pelo planos coordenados e o plano
, com vetor normal
apontando para o exterior.
Passo 1
O enunciado dá:
- O campo vetorial
. - A superfície
é o tetraedro fechado formado pelos planos coordenados , , e pelo plano . - O vetor normal
está apontando para o exterior (ou seja, a orientação de é a externa).
O que se pede: - Calcular o fluxo de
através de , isto é .
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação didática do teorema usado).
- Vou usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) porque
é a superfície fechada que envolve a região sólida (o tetraedro) e é um campo com componentes polinomiais, portanto contínuas e com derivadas contínuas na região. O Teorema da Divergência afirma:
onde
é a divergência de
e
é o sólido cuja fronteira é
. Isso transforma um problema de fluxo sobre a superfície fechada em uma integral tripla sobre o volume — normalmente mais simples de calcular.
Passo 3
Cálculo da divergência (a “aula” sobre o que é divergência).
- A divergência de um campo vetorial
é definida por
- Para o nosso
temos , , . Calculando as derivadas parciais:
Logo
Passo 4
Descrição do domínio
e montagem da integral tripla.
- A região
é o tetraedro dado por
- Pelo Teorema da Divergência, o fluxo procurado é
Agora precisamos calcular essa integral tripla.
Passo 5
Cálculo da integral usando simetria e propriedades geométricas (truque prático).
- Observe que a região
é simétrica em : permutar coordenadas troca o domínio consigo mesmo. Por simetria:
- Assim
- Para encontrar
podemos usar o fato de que o centroide (baricentro) do tetraedro formado por , , , é o ponto médio das quatro vértices, ou seja
Numa região homogênea, a coordenada média
é dada por
onde
é o volume de
. Portanto
.
- O volume do tetraedro
é fácil de calcular: a base no plano é o triângulo com vértices , cuja área é ; a altura (em ) é . Assim usando obtemos
- Logo
- E então
Passo 6
Comentário opcional de verificação (como fazer direta por integrais iteradas — para prática).
- Se preferir ver por integração direta, escreva
e execute as integrais iteradas; o resultado também dá
. (Fica como exercício de verificação — o método por simetria + centroide é mais rápido na prova.)