Exercício 52. Calcule \iint_{S}(F \cdot n) d s, onde F(x, y, z)=(x z, x y, y z) e S o tetraedro formado pelo planos coordenados e o plano x+y+z=1, com vetor normal n apontando para o exterior.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O campo vetorial \displaystyle F(x,y,z)=(x z,\; x y,\; y z).
  • A superfície S é o tetraedro fechado formado pelos planos coordenados \{x=0\}, \{y=0\}, \{z=0\} e pelo plano \{x+y+z=1\}.
  • O vetor normal n está apontando para o exterior (ou seja, a orientação de S é a externa).
    O que se pede:
  • Calcular o fluxo de F através de S, isto é \displaystyle \iint_{S} (F\cdot n)\,d s.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática do teorema usado).
  • Vou usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) porque S é a superfície fechada que envolve a região sólida T (o tetraedro) e F é um campo com componentes polinomiais, portanto contínuas e com derivadas contínuas na região. O Teorema da Divergência afirma:
\iint_{S}(F\cdot n)\,d s = \iiint_{T} \operatorname{div}F\,dV,
onde \operatorname{div}F é a divergência de F e T é o sólido cuja fronteira é S. Isso transforma um problema de fluxo sobre a superfície fechada em uma integral tripla sobre o volume — normalmente mais simples de calcular.

Passo 3

Cálculo da divergência (a “aula” sobre o que é divergência).
  • A divergência de um campo vetorial F=(F_1,F_2,F_3) é definida por
\operatorname{div}F = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}.
  • Para o nosso F temos F_1(x,y,z)=xz, F_2(x,y,z)=xy, F_3(x,y,z)=yz. Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial x}(xz)=z,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(xy)=x,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(yz)=y.
Logo
\operatorname{div}F = z + x + y = x+y+z.

Passo 4

Descrição do domínio T e montagem da integral tripla.
  • A região T é o tetraedro dado por
T=\{(x,y,z)\mid x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0,\;x+y+z\le 1\}.
  • Pelo Teorema da Divergência, o fluxo procurado é
\iint_{S}(F\cdot n)\,d s = \iiint_{T} (x+y+z)\,dV.
Agora precisamos calcular essa integral tripla.

Passo 5

Cálculo da integral usando simetria e propriedades geométricas (truque prático).
  • Observe que a região T é simétrica em x,y,z: permutar coordenadas troca o domínio consigo mesmo. Por simetria:
\iiint_{T} x\,dV = \iiint_{T} y\,dV = \iiint_{T} z\,dV.
  • Assim
\iiint_{T} (x+y+z)\,dV = 3\iiint_{T} x\,dV.
  • Para encontrar \iiint_{T} x\,dV podemos usar o fato de que o centroide (baricentro) do tetraedro formado por (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) é o ponto médio das quatro vértices, ou seja
\text{centroide}=\Big(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\Big).
Numa região homogênea, a coordenada média \bar x é dada por
\bar x = \frac{1}{V}\iiint_{T} x\,dV,
onde V é o volume de T. Portanto \iiint_{T} x\,dV = V\cdot \bar x.
  • O volume do tetraedro T é fácil de calcular: a base no plano z=0 é o triângulo com vértices (0,0),(1,0),(0,1), cuja área é \tfrac{1}{2}; a altura (em z) é 1. Assim usando V=\tfrac{1}{3}\times\text{área da base}\times \text{altura}á obtemos
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{6}.
  • Logo
\iiint_{T} x\,dV = V\cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{24}.
  • E então
\iiint_{T} (x+y+z)\,dV = 3\cdot\frac{1}{24}=\frac{1}{8}.

Passo 6

Comentário opcional de verificação (como fazer direta por integrais iteradas — para prática).
  • Se preferir ver por integração direta, escreva
\iiint_{T} (x+y+z)\,dV = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\int_{z=0}^{1-x-y} (x+y+z)\,dz\,dy\,dx
e execute as integrais iteradas; o resultado também dá \tfrac{1}{8}. (Fica como exercício de verificação — o método por simetria + centroide é mais rápido na prova.)

Resposta

\displaystyle \frac{1}{8}

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