Exercício 52. O diâmetro em centímetros das bolinhas de gude em um lote tem distribuição normal com parâmetro mu=1. Um terço das bolinhas tem diâmetro maior que 1,1 cm. Obtenha:
a) o parâmetro sigma.
b) a proporção de bolinhas cujo diâmetro está entre 0,8 e 1,2 cm.
c) o valor do diâmetro superado por 80 % das bolinhas do lote.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o diâmetro P(D > 1,1) = tfrac13 das bolinhas segue uma normal com média cm e desvio padrão desconhecido. A gente sabe que um terço das bolinhas tem diâmetro maior que cm, ou seja
A partir disso, o exercício pede:
a) descobrir ;
b) calcular a proporção de bolinhas com ;
c) achar o diâmetro que é superado por 80% das bolinhas (ou seja, ).
Conteúdo: distribuição normal e padronização. A gente vai precisar usar tabelas ou a função inversa da normal padrão.

Passo 2

(a) Para achar P(D>1,1)=tfrac13 usamos o fato
Pl(Z > tfrac1,1-1sigmar) ;=;tfrac13
Passo 1 na padronização: defino Pl(Z <= tfrac0,1sigmar) = 1 - tfrac13 = tfrac23 .
Então
0,1sigma = 0,4307 Longrightarrow sigma = 0,10,4307 approx 0,232
Ou seja
Na tabela da normal, o quantil corresponde a . Logo

Passo 3

(b) Queremos
P(0,8 < D < 1,2) =;Pl(0,8-1sigma < Z < 1,2-1sigmar)
Calculo os limites:
0,8-10,232approx -0,862, 1,2-10,232approx +0,862
Então
P(-0,862 < Z < 0,862) = Phi(0,862) - Phi(-0,862)
Como Phi(0,862) - [1-Phi(0,862)] = 2,Phi(0,862) -1 , isso vira
P(0,8 < D < 1,2) approx 2times0,8051 -1 = 0,6102
Da tabela, . Então

Passo 4

© Queremos P(D > x) = 0,8 Longrightarrow P(D <= x) = 0,2 tal que
x-10,232 = -0,8416 Longrightarrow x = 1 + 0,232times(-0,8416)approx 1 - 0,195 = 0,805
Padronizando, . Da tabela inversa, o quantil de é . Logo

Resposta

a)
b) Proporção
c) Diâmetro cm

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