Exercício 51. O tempo de vida útil em anos de um eletrodoméstico é uma variável aleatória com densidade dada por
a) Mostre que de fato é uma densidade.
b) Se o fabricante dá um tempo de garantia de seis meses para o produto, qual a proporção de aparelhos que devem usar essa garantia?
Passo 1
Beleza, então o exercício diz que o tempo de vida de um eletrodoméstico (em anos) é uma variável aleatória contínua com densidade
A matéria aqui é Probabilidade: densidade de probabilidade contínua e cálculo de probabilidade via integração.
O que a gente vai precisar:
• Mostrar que (isso garante que é mesmo uma densidade).
• Calcular a proporção de aparelhos que quebram em até seis meses (ou seja, , já que seis meses = 0,5 ano).
Passo 2
Vamos provar que .
Primeiro, lembrando da integral padrão para .
Aqui , então
Como a nossa densidade é esse integrando dividido por 4, temos
Pronto, é uma densidade válida.
Passo 3
Agora queremos a proporção que quebra em até 0,5 ano, isto é
P(X<0,5)=integral0^0.5 x,e^-x/24,dx
Uma forma rápida é usar a CDF da distribuição Gama(2, θ=2), mas a gente pode fazer na unha por partes:
Seja I =uv|0^0.5-integral0^0.5v,du =l[-2x,e^-x/2r]0^0.5 +2integral0^0.5 e^-x/2,dx
Integração por partes:
• I =l(-2cdot0.5,e^-0.25r)-0 +2l[-2e^-x/2r]0^0.5 =-!1,e^-0.25+4l(1-e^-0.25r) =4-5,e^-0.25 , P(X<0.5) =14,I =4-5e^-0.254 =1-54e^-0.25 approx 0,0265 ⇒ , .
• Logo
Calcule o segundo pedaço: .
Substituindo os limites em tudo dá
Então
Em porcentagem é cerca de .
Resposta
a) P(X<0,5) =1-tfrac54e^-0.25 approx0,0265 (≈ 2,65%) , logo é densidade.
b) A proporção que usa a garantia (quebra em ≤6 meses) é