Exercício 51. O tempo de vida útil em anos de um eletrodoméstico é uma variável aleatória com densidade dada por
f(x)=x e^-x / 24 x>0
a) Mostre que de fato f é uma densidade.
b) Se o fabricante dá um tempo de garantia de seis meses para o produto, qual a proporção de aparelhos que devem usar essa garantia?

Passo 1

Beleza, então o exercício diz que o tempo de vida de um eletrodoméstico (em anos) é uma variável aleatória contínua com densidade
f(x)=x,e^-x/24, x>0
A matéria aqui é Probabilidade: densidade de probabilidade contínua e cálculo de probabilidade via integração.
O que a gente vai precisar:
• Mostrar que (isso garante que é mesmo uma densidade).
• Calcular a proporção de aparelhos que quebram em até seis meses (ou seja, , já que seis meses = 0,5 ano).

Passo 2

Vamos provar que integral0^infty f(x),dx =integral0^infty x,e^-x/24,dx =14,underbraceintegral0^infty x,e^-x/2,dx4 =1 .
  1. Primeiro, lembrando da integral padrão
    para .
  2. Aqui , então
  3. Como a nossa densidade é esse integrando dividido por 4, temos
Pronto, é uma densidade válida.

Passo 3

Agora queremos a proporção que quebra em até 0,5 ano, isto é
P(X<0,5)=integral0^0.5 x,e^-x/24,dx
Uma forma rápida é usar a CDF da distribuição Gama(2, θ=2), mas a gente pode fazer na unha por partes:
  1. Seja
    I =uv|0^0.5-integral0^0.5v,du =l[-2x,e^-x/2r]0^0.5 +2integral0^0.5 e^-x/2,dx
    • Integração por partes:
      I =l(-2cdot0.5,e^-0.25r)-0 +2l[-2e^-x/2r]0^0.5 =-!1,e^-0.25+4l(1-e^-0.25r) =4-5,e^-0.25 , P(X<0.5) =14,I =4-5e^-0.254 =1-54e^-0.25 approx 0,0265 , .
      • Logo
    • Calcule o segundo pedaço:
      .
    • Substituindo os limites em tudo dá
  2. Então
Em porcentagem é cerca de .

Resposta

a) P(X<0,5) =1-tfrac54e^-0.25 approx0,0265 (≈ 2,65%) , logo é densidade.
b) A proporção que usa a garantia (quebra em ≤6 meses) é

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