Exercício 52: Se X e Y são duas variáveis aleatórias quaisquer, pode-se afirmar que:
© Se
, então
.
© Se
, então
e
são variáveis aleatórias independentes.
© Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então o coeficiente de correlação entre elas é zero.
© Se T
, então
.
© Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então
.E(Y).
© Se
© Se
© Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então o coeficiente de correlação entre elas é zero.
© Se T
© Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então
Passo 1
O enunciado lista cinco afirmações sobre variáveis aleatórias
e
. O conteúdo de matéria envolvido é: variância de combinação linear, covariância, independência vs. correlação, linearidade da esperança e propriedade de esperança de variáveis independentes. Vamos checar cada afirmação usando as fórmulas conhecidas.
Passo 2
Afirmação 1: “Se
, então
.”
Pela fórmula geral
Pela fórmula geral
com
e
teríamos
não o que foi dado. Logo, a afirmação 1 é falsa.
Passo 3
Afirmação 2: “Se
, então
e
são variáveis independentes.”
Em geral, covariância nula ( ) não garante independência (exceto em casos especiais, como gaussiano). Portanto, é falsa.
Em geral, covariância nula (
Passo 4
Afirmação 3: “Se
e
são variáveis aleatórias independentes, então o coeficiente de correlação entre elas é zero.”
Independência implica . O coeficiente de correlação é
Independência implica
logo
. A afirmação 3 é verdadeira.
Passo 5
Afirmação 4: “Se
, então
.”
Pela linearidade da esperança,
Pela linearidade da esperança,
Logo, a afirmação 4 é verdadeira.
Passo 6
Afirmação 5: “Se
e
são variáveis aleatórias independentes, então
.”
Aqui “ ” significa
. Para variáveis independentes vale
Aqui “
A afirmação 5 é verdadeira.
Resposta
As únicas afirmações corretas são a 3, a 4 e a 5.