Exercício 52: Se X e Y são duas variáveis aleatórias quaisquer, pode-se afirmar que:
© Se W=3 X+4 Y, então Var(W)=3 Var(X)+4 Var(Y)+2 Cov(X, Y).
© Se Cov(X, Y)=0, então X e Y são variáveis aleatórias independentes.
© Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então o coeficiente de correlação entre elas é zero.
© Se T =2 X+Y+5, então E(T)=2 E(X)+E(Y)+5.
© Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então E(X, Y)=E(X).E(Y).

Passo 1

O enunciado lista cinco afirmações sobre variáveis aleatórias X e Y. O conteúdo de matéria envolvido é: variância de combinação linear, covariância, independência vs. correlação, linearidade da esperança e propriedade de esperança de variáveis independentes. Vamos checar cada afirmação usando as fórmulas conhecidas.

Passo 2

Afirmação 1: “Se W=3X+4Y, então Var(W)=3,Var(X)+4,Var(Y)+2,Cov(X,Y).”
Pela fórmula geral
Var(aX+bY) = a^2Var(X)+b^2Var(Y)+2ab,Cov(X,Y),
com a=3 e b=4 teríamos
Var(W) =9,Var(X)+16,Var(Y)+2cdot3cdot4,Cov(X,Y),
não o que foi dado. Logo, a afirmação 1 é falsa.

Passo 3

Afirmação 2: “Se Cov(X,Y)=0, então X e Y são variáveis independentes.”
Em geral, covariância nula ( Cov(X,Y)=0) não garante independência (exceto em casos especiais, como gaussiano). Portanto, é falsa.

Passo 4

Afirmação 3: “Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então o coeficiente de correlação entre elas é zero.”
Independência implica Cov(X,Y)=0. O coeficiente de correlação é
rhoX,Y = Cov(X,Y)sigmaX,sigmaY,
logo rhoX,Y=0. A afirmação 3 é verdadeira.

Passo 5

Afirmação 4: “Se T=2X+Y+5, então E(T)=2,E(X)+E(Y)+5.”
Pela linearidade da esperança,
E(2X+Y+5) =2,E(X)+E(Y)+5
Logo, a afirmação 4 é verdadeira.

Passo 6

Afirmação 5: “Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então E(X,Y)=E(X)cdot E(Y).”
Aqui “ E(X,Y)” significa E(XY). Para variáveis independentes vale
E(XY)=E(X),E(Y)
A afirmação 5 é verdadeira.

Resposta

As únicas afirmações corretas são a 3, a 4 e a 5.

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