Exercício 51: Sejam X, Y e Z variáveis aleatórias quaisquer. Então:
© Var(X+Y+Z)=Var(X)+Var(Y)+Var(Z).
(0) Var(2 X+4)=4 Var(X)+16.
  • E(X+Y)=E(X)+E(Y).
    © Cov(X, Y)=E(XY)-E(X) cdot E(Y).
    (a) E(X^2)=[E(X)]^2.

Passo 1

O enunciado nos dá três variáveis aleatórias X,Y,Z e apresenta cinco afirmações sobre variância, esperança e covariância. O conteúdo envolvido é:
  • propriedade geral da variância de soma de variáveis (incluindo covariâncias),
  • variância de combinação afim de uma variável,
  • linearidade da esperança,
  • definição de covariância,
  • relação entre E(X^2) e [E(X)]^2 via variância.

Passo 2

Verificamos a afirmação
Var(X+Y+Z)=Var(X)+Var(Y)+Var(Z)
Em geral
Var(X+Y+Z) =Var(X)+Var(Y)+Var(Z) +2Cov(X,Y)+2Cov(X,Z)+2Cov(Y,Z)
Só se as covariâncias forem nulas (variáveis não correlacionadas) é que a soma das variâncias basta. Como o enunciado não impõe independência nem covariâncias zero, a afirmação é falsa.

Passo 3

Analisamos
Var(2X+4)=4,Var(X)+16
Para qualquer constante a e b vale
Var(aX+b)=a^2,Var(X)
Logo
Var(2X+4)=2^2,Var(X)=4,Var(X),
sem termo extra +16. Portanto, essa afirmação é falsa.

Passo 4

A terceira afirmação é
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
Isto é exatamente a linearidade da esperança, que vale para quaisquer variáveis aleatórias. Logo, essa afirmação é verdadeira.

Passo 5

A quarta afirmação é
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X),E(Y)
Isso coincide com a definição usual de covariância. Portanto, essa afirmação é verdadeira.

Passo 6

Por fim, analisa-se
El(X^2r)=[E(X)]^2
Em geral definimos
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2>=0,
de modo que só teremos igualdade E(X^2)=[E(X)]^2 se Var(X)=0 (variável degenerada). Não é verdade para qualquer X, logo essa afirmação é falsa.

Resposta

As únicas afirmações verdadeiras são:
  • E(X+Y)=E(X)+E(Y).
  • Cov(X,Y)=E(XY)-E(X),E(Y).

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