Exercício 51: Sejam X, Y e Z variáveis aleatórias quaisquer. Então:
©
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(0)
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-
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©
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(a)
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©
(0)
©
(a)
Passo 1
O enunciado nos dá três variáveis aleatórias
e apresenta cinco afirmações sobre variância, esperança e covariância. O conteúdo envolvido é:
- propriedade geral da variância de soma de variáveis (incluindo covariâncias),
- variância de combinação afim de uma variável,
- linearidade da esperança,
- definição de covariância,
- relação entre
e via variância.
Passo 2
Verificamos a afirmação
Em geral
Só se as covariâncias forem nulas (variáveis não correlacionadas) é que a soma das variâncias basta. Como o enunciado não impõe independência nem covariâncias zero, a afirmação é falsa.
Passo 3
Analisamos
Para qualquer constante
e
vale
Logo
sem termo extra
. Portanto, essa afirmação é falsa.
Passo 4
A terceira afirmação é
Isto é exatamente a linearidade da esperança, que vale para quaisquer variáveis aleatórias. Logo, essa afirmação é verdadeira.
Passo 5
A quarta afirmação é
Isso coincide com a definição usual de covariância. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Passo 6
Por fim, analisa-se
Em geral definimos
de modo que só teremos igualdade
se
(variável degenerada). Não é verdade para qualquer
, logo essa afirmação é falsa.
Resposta
As únicas afirmações verdadeiras são:
-
. -
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