Exercício 52: Se X e Y são duas variáveis aleatórias quaisquer, pode-se afirmar que:
  • Se W=3 X+4 Y, então Var(W)=9 Var(X)+16 Var(Y)+24 Cov(X, Y).
  • Se Cov(X, Y)=0, então X e Y são variáveis aleatórias não correlacionadas.
  • Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então o coeficiente de correlação entre elas é zero.
  • Se T =2 X+Y+5, então E(T)=2 E(X)+E(Y)+5.
  • Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então E(XY)=E(X).E(Y).

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre variáveis aleatórias X e Y, envolvendo variância de combinação linear, covariância, correlação e esperança. O conteúdo principal é:
  1. Fórmula da variância de aX+bY,
  2. Definição de variáveis não correlacionadas,
  3. Relação entre independência e correlação,
  4. Linearidade da esperança,
  5. Esperança do produto em caso de independência.

Passo 2

Aplicamos a fórmula geral da variância de combinação linear:
Tomando e , obtemos
logo a afirmação 1 é verdadeira.

Passo 3

Por definição, dizer que e são não correlacionadas equivale a . Assim, a afirmação 2 é verdadeira (é apenas a própria definição de não correlação).

Passo 4

Se e são independentes então . O coeficiente de correlação é
portanto . A afirmação 3 é verdadeira.

Passo 5

Pela linearidade da esperança,
logo a afirmação 4 é verdadeira.

Passo 6

Em caso de independência, vale
Portanto, a afirmação 5 também é verdadeira.

Resposta

Todas as cinco afirmações são corretas.

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