Exercício 52: Se X e Y são duas variáveis aleatórias quaisquer, pode-se afirmar que:
- Se
, então
.
- Se
, então
e
são variáveis aleatórias não correlacionadas.
- Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então o coeficiente de correlação entre elas é zero.
- Se T
, então
.
- Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então
.E(Y).
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre variáveis aleatórias
e
, envolvendo variância de combinação linear, covariância, correlação e esperança. O conteúdo principal é:
- Fórmula da variância de
, - Definição de variáveis não correlacionadas,
- Relação entre independência e correlação,
- Linearidade da esperança,
- Esperança do produto em caso de independência.
Passo 2
Aplicamos a fórmula geral da variância de combinação linear:
Tomando
e
, obtemos
logo a afirmação 1 é verdadeira.
Passo 3
Por definição, dizer que
e
são não correlacionadas equivale a . Assim, a afirmação 2 é verdadeira (é apenas a própria definição de não correlação).
Passo 4
Se
e
são independentes então . O coeficiente de correlação é
portanto
. A afirmação 3 é verdadeira.
Passo 5
Pela linearidade da esperança,
logo a afirmação 4 é verdadeira.
Passo 6
Em caso de independência, vale
Portanto, a afirmação 5 também é verdadeira.
Resposta
Todas as cinco afirmações são corretas.