Exercício 44. Sejam
\vec{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right), \vec{v}=\left(-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right), \vec{w}=\left(0,-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) .
(i) Prove que \mathbf{F}=(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) é uma base ortonormal positiva.
(ii) Calcule a área do triângulo determinado pelos vetores 2 \vec{u}+\vec{v} e \vec{u}-\vec{v}.
(iii) Determine a projeção ortogonal do vetor 3 \vec{u}+5 \vec{v} sobre o vetor 2 \vec{u}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados (pegos do enunciado):
\vec{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right),\quad \vec{v}=\left(-\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}\right),\quad \vec{w}=\left(0,-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
O enunciado pede três coisas:
(i) Provar que F=(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é uma base ortonormal positiva.
(ii) Calcular a área do triângulo determinado pelos vetores 2\vec{u}+\vec{v} e \vec{u}-\vec{v}.
(iii) Determinar a projeção ortogonal do vetor 3\vec{u}+5\vec{v} sobre o vetor 2\vec{u}.
Neste passo não vou resolver nada, apenas deixei claro o que precisamos mostrar e os dados que temos.

Passo 2

Explicação das ferramentas que vamos usar (aulas rápidas e úteis):
  • Produto escalar: para dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) em \mathbb{R}^3,
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
O comprimento (norma) de \vec{a} é \|\vec{a}\|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}.
  • Vetores ortogonais: \vec{a} e \vec{b} são ortogonais se e somente se \vec{a}\cdot\vec{b}=0.
  • Base ortonormal: uma família (\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3) é ortonormal se \|\vec{e}_i\|=1 para todo i e \vec{e}_i\cdot\vec{e}_j=0 para i\neq j.
  • Orientação positiva (base ortonormal positiva): uma base ortonormal é positiva se o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores é +1. Outra forma prática: calcular o produto misto \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}); se o valor for +1 então a base é ortonormal positiva (pois em uma base ortonormal o determinante é \pm1).
  • Produto vetorial e área: para \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^3, o módulo \|\vec{a}\times\vec{b}\| é a área do paralelogramo determinado por \vec{a} e \vec{b}. A área do triângulo formado por \vec{a} e \vec{b} é
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\|\vec{a}\times\vec{b}\|.Á
  • Projeção ortogonal: projeção de \vec{x} sobre \vec{y} (com \vec{y}\neq\vec{0}) é
\operatorname{proj}_{\vec{y}}\vec{x}=\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\vec{y}\cdot\vec{y}}\,\vec{y}.
Isto vem da decomposição de \vec{x} em direção paralela a \vec{y} mais componente ortogonal.
Com essas fórmulas claras, agora vamos aplicar passo a passo aos vetores dados.

Passo 3

Provar que (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é ortonormal: calcular normas e produtos escalares entre pares.
Calcule \|\vec{u}\|^2=\vec{u}\cdot\vec{u}:
\vec{u}\cdot\vec{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 =\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1.
Logo \|\vec{u}\|=1.
Calcule \|\vec{v}\|^2=\vec{v}\cdot\vec{v}:
\vec{v}\cdot\vec{v}=\left(-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2 =\frac{4}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1.
Logo \|\vec{v}\|=1.
Calcule \|\vec{w}\|^2=\vec{w}\cdot\vec{w}:
\vec{w}\cdot\vec{w}=0^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 =0+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.
Logo \|\vec{w}\|=1.
Agora produtos mistos entre vetores diferentes:
Calcule \vec{u}\cdot\vec{v}:
\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Big(-\frac{2}{\sqrt{6}}\Big)+\frac{1}{\sqrt{3}}\Big(\frac{1}{\sqrt{6}}\Big)+\frac{1}{\sqrt{3}}\Big(\frac{1}{\sqrt{6}}\Big) =\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{-2+1+1}{\sqrt{6}}=0.
Calcule \vec{u}\cdot\vec{w}:
\vec{u}\cdot\vec{w}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 0+\frac{1}{\sqrt{3}}\Big(-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)+\frac{1}{\sqrt{3}}\Big(\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)=0.
Calcule \vec{v}\cdot\vec{w}:
\vec{v}\cdot\vec{w}=-\frac{2}{\sqrt{6}}\cdot 0+\frac{1}{\sqrt{6}}\Big(-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)+\frac{1}{\sqrt{6}}\Big(\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)=0.
Conclusão desta etapa: todos os vetores têm norma 1 e são mutuamente ortogonais, portanto (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é uma família ortonormal.

Passo 4

Mostrar que a base é positiva (determinante +1). Vou usar o produto misto \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}), que dá o determinante da matriz cujas colunas são \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
Primeiro calcule \vec{v}\times\vec{w}. Use a fórmula componente a componente:
\vec{v}\times\vec{w}=\big(v_2w_3-v_3w_2,\;v_3w_1-v_1w_3,\;v_1w_2-v_2w_1\big).
Substituindo v_1=-\frac{2}{\sqrt{6}},\;v_2=\frac{1}{\sqrt{6}},\;v_3=\frac{1}{\sqrt{6}} e w_1=0,\;w_2=-\frac{1}{\sqrt{2}},\;w_3=\frac{1}{\sqrt{2}}:
Primeira componente:
v_2w_3-v_3w_2=\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\Big(-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big) =\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{12}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Segunda componente:
v_3w_1-v_1w_3=\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot 0-\Big(-\frac{2}{\sqrt{6}}\Big)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{2}{\sqrt{12}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Terceira componente:
v_1w_2-v_2w_1=-\frac{2}{\sqrt{6}}\Big(-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)-\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot 0 =\frac{2}{\sqrt{12}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Portanto
\vec{v}\times\vec{w}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\vec{u}.
Agora o produto misto:
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{u}=1.
Isto significa que o determinante da matriz F (colunas \vec{u},\vec{v},\vec{w}) é 1. Logo a base é ortonormal positiva.

Passo 5

Resumo do item (i) (já demonstrado): (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é ortonormal porque normas iguais a 1 e produtos escalares nulos entre vetores distintos, e é positiva porque o determinante (produto misto) é +1.

Passo 6

Agora o item (ii): calcular a área do triângulo determinado por \vec{a}=2\vec{u}+\vec{v} e \vec{b}=\vec{u}-\vec{v}.
Lembrete: a área do triângulo formado por \vec{a} e \vec{b} é
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\|\vec{a}\times\vec{b}\|.Á
Como (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é uma base ortonormal positiva, é muito conveniente expressar \vec{a} e \vec{b} pelas coordenadas nessa base. Em coordenadas relativas à base F (ou seja, escrevendo coeficientes frente a \vec{u},\vec{v},\vec{w}):
\vec{a}=2\vec{u}+\vec{v}\quad\longleftrightarrow\quad (2,1,0),\qquad \vec{b}=\vec{u}-\vec{v}\quad\longleftrightarrow\quad (1,-1,0).
Em uma base ortonormal positiva, o cálculo do produto vetorial entre \vec{a} e \vec{b} corresponde ao produto vetorial das suas coordenadas no sistema canônico padrão (pois a base é ortonormal). Assim posso calcular
(2,1,0)\times(1,-1,0)
no modo usual e depois tomar o módulo.

Passo 7

Calcular o produto vetorial das coordenadas:
(2,1,0)\times(1,-1,0) = \big(1\cdot 0-0\cdot(-1),\;0\cdot 1-2\cdot 0,\;2\cdot(-1)-1\cdot 1\big) =(0,0,-3).
O módulo deste vetor é
\|(0,0,-3)\|=3.
Portanto a área do paralelogramo gerado por \vec{a} e \vec{b} é 3, e a área do triângulo (metade do paralelogramo) é
\text{Área do triângulo}=\tfrac{1}{2}\cdot 3=\tfrac{3}{2}.Áâ

Passo 8

Comentário didático curto: é comum aproveitar uma base ortonormal para reduzir contas — as coordenadas em uma base ortonormal seguem exatamente as regras usuais do produto vetorial e da norma, e a norma do vetor na base original é a mesma que a norma do vetor de coordenadas, por isso o procedimento é válido e rápido.

Passo 9

Agora o item (iii): projetar ortogonalmente \vec{x}=3\vec{u}+5\vec{v} sobre \vec{y}=2\vec{u}.
Usamos a fórmula da projeção:
\operatorname{proj}_{\vec{y}}\vec{x}=\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\vec{y}\cdot\vec{y}}\,\vec{y}.
Calcule os produtos escalares (aproveitando ortonormalidade \vec{u}\cdot\vec{u}=1 e \vec{v}\cdot\vec{u}=0):
\vec{x}\cdot\vec{y}=(3\vec{u}+5\vec{v})\cdot(2\vec{u}) =2\big(3(\vec{u}\cdot\vec{u})+5(\vec{v}\cdot\vec{u})\big)=2(3\cdot 1+5\cdot 0)=6.
\vec{y}\cdot\vec{y}=(2\vec{u})\cdot(2\vec{u})=4(\vec{u}\cdot\vec{u})=4\cdot 1=4.
Portanto
\operatorname{proj}_{2\vec{u}}(3\vec{u}+5\vec{v})=\frac{6}{4}\,(2\vec{u})=\frac{3}{2}\cdot 2\vec{u}=3\vec{u}.
Observação simples: projetar sobre 2\vec{u} é o mesmo que projetar sobre \vec{u} (vetor direção igual), e neste caso a componente de 3\vec{u}+5\vec{v} na direção de \vec{u} é exatamente 3\vec{u}.

Passo 10

Conclusões (já obtidas passo a passo):
  • (i) F é uma base ortonormal positiva.
  • (ii) A área do triângulo pedido é \tfrac{3}{2}.
  • (iii) A projeção ortogonal de 3\vec{u}+5\vec{v} sobre 2\vec{u} é 3\vec{u}.

Resposta

(i) F é uma base ortonormal positiva.
(ii) \dfrac{3}{2}.
(iii) 3\vec{u}.

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