Exercício 44. Sejam
(i) Prove que
é uma base ortonormal positiva.
(ii) Calcule a área do triângulo determinado pelos vetores
e
.
(iii) Determine a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
.
(ii) Calcule a área do triângulo determinado pelos vetores
(iii) Determine a projeção ortogonal do vetor
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados (pegos do enunciado):
O enunciado pede três coisas:
(i) Provar que é uma base ortonormal positiva.
(ii) Calcular a área do triângulo determinado pelos vetores e
.
(iii) Determinar a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor
.
(i) Provar que
(ii) Calcular a área do triângulo determinado pelos vetores
(iii) Determinar a projeção ortogonal do vetor
Neste passo não vou resolver nada, apenas deixei claro o que precisamos mostrar e os dados que temos.
Passo 2
Explicação das ferramentas que vamos usar (aulas rápidas e úteis):
- Produto escalar: para dois vetores
e em ,
O comprimento (norma) de
é
.
-
Vetores ortogonais:
e são ortogonais se e somente se . -
Base ortonormal: uma família
é ortonormal se para todo e para . -
Orientação positiva (base ortonormal positiva): uma base ortonormal é positiva se o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores é
. Outra forma prática: calcular o produto misto ; se o valor for então a base é ortonormal positiva (pois em uma base ortonormal o determinante é ). -
Produto vetorial e área: para
, o módulo é a área do paralelogramo determinado por e . A área do triângulo formado por e é
- Projeção ortogonal: projeção de
sobre (com ) é
Isto vem da decomposição de
em direção paralela a
mais componente ortogonal.
Com essas fórmulas claras, agora vamos aplicar passo a passo aos vetores dados.
Passo 3
Provar que
é ortonormal: calcular normas e produtos escalares entre pares.
Calcule
:
Logo
.
Calcule
:
Logo
.
Calcule
:
Logo
.
Agora produtos mistos entre vetores diferentes:
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Conclusão desta etapa: todos os vetores têm norma
e são mutuamente ortogonais, portanto
é uma família ortonormal.
Passo 4
Mostrar que a base é positiva (determinante
). Vou usar o produto misto
, que dá o determinante da matriz cujas colunas são
.
Primeiro calcule
. Use a fórmula componente a componente:
Substituindo
e
:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Portanto
Agora o produto misto:
Isto significa que o determinante da matriz
(colunas
) é
. Logo a base é ortonormal positiva.
Passo 5
Resumo do item (i) (já demonstrado):
é ortonormal porque normas iguais a
e produtos escalares nulos entre vetores distintos, e é positiva porque o determinante (produto misto) é
.
Passo 6
Agora o item (ii): calcular a área do triângulo determinado por
e
.
Lembrete: a área do triângulo formado por
e
é
Como
é uma base ortonormal positiva, é muito conveniente expressar
e
pelas coordenadas nessa base. Em coordenadas relativas à base
(ou seja, escrevendo coeficientes frente a
):
Em uma base ortonormal positiva, o cálculo do produto vetorial entre
e
corresponde ao produto vetorial das suas coordenadas no sistema canônico padrão (pois a base é ortonormal). Assim posso calcular
no modo usual e depois tomar o módulo.
Passo 7
Calcular o produto vetorial das coordenadas:
O módulo deste vetor é
Portanto a área do paralelogramo gerado por
e
é
, e a área do triângulo (metade do paralelogramo) é
Passo 8
Comentário didático curto: é comum aproveitar uma base ortonormal para reduzir contas — as coordenadas em uma base ortonormal seguem exatamente as regras usuais do produto vetorial e da norma, e a norma do vetor na base original é a mesma que a norma do vetor de coordenadas, por isso o procedimento é válido e rápido.
Passo 9
Agora o item (iii): projetar ortogonalmente
sobre
.
Usamos a fórmula da projeção:
Calcule os produtos escalares (aproveitando ortonormalidade
e
):
Portanto
Observação simples: projetar sobre
é o mesmo que projetar sobre
(vetor direção igual), e neste caso a componente de
na direção de
é exatamente
.
Passo 10
Conclusões (já obtidas passo a passo):
- (i)
é uma base ortonormal positiva. - (ii) A área do triângulo pedido é
. - (iii) A projeção ortogonal de
sobre é .
Resposta
(i)
é uma base ortonormal positiva.
(ii) .
(iii) .
(ii)
(iii)