Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\int \operatorname{sec} ^{2} x \operatorname{tg}^{2} xdx

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (antiderivada) de
\int \operatorname{sec}^{2}x\,\tan^{2}x \,dx.
O conteúdo é integração por substituição, usando que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Observamos que
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x.
Isso sugere fazer a substituição u=\tan x, pois o diferencial du aparece naturalmente no integrando.

Passo 3

Definindo
u = \tan x, \quad du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx,
temos
\int \operatorname{sec}^{2}x\,\tan^{2}x\,dx = \int u^{2}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, como u=\tan x, a primitiva fica
\frac{\tan^{3}x}{3} + C.

Resposta

\frac{\tan^{3}x}{3} + C.

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