Use o teorema de Stokes para calcular
, onde
Exercício 64.
e
é a curva obtida como interseção da esfera
com o plano
, orientada no sentido horário quando projetada sobre o plano
.
Exercício 64.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde está dado:
e
é a curva de interseção da esfera
com o plano
orientada de tal forma que, quando projetada no plano
, a orientação da curva aparece no sentido horário.
Informações relevantes listadas:
Passo 2
Vamos usar o Teorema de Stokes. Vou explicá-lo bem devagarinho.
O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície
com bordo
e um campo vetorial
,
onde
é o rotacional (curl) de
e
é o vetor unitário normal à superfície
escolhido de acordo com a orientação da curva
(a regra da mão direita: se o polegar aponta na direção de
, os dedos enrolados mostram a orientação positiva de
).
O que preciso fazer:
- Calcular
. - Escolher uma superfície
cujo bordo seja (a escolha natural aqui é o disco planar formado pela interseção do plano com a esfera). - Determinar o vetor normal unitário
compatível com a orientação dada (atenção ao “horário” na projeção). - Calcular
(que será constante se for constante) e integrar sobre o disco (basta multiplicar pelo área do disco).
Passo 3
Calculo do rotacional
. Lembrete: para
,
Aplicando a
:
Logo,
Passo 4
Escolha da superfície
e do vetor normal.
Escolho
como o disco plano dado por
limitado pela interseção com a esfera (é a superfície naturalmente delimitada por
).
O vetor normal não unitário do plano
é
(pois o coeficiente de
no lado esquerdo do plano dá a direção normal). O versor normal é
Agora a questão da orientação: foi dito que
é orientada no sentido horário quando projetada sobre o plano
. Pelo Teorema de Stokes, a orientação do bordo é a orientação positiva correspondente ao versor normal
segundo a regra da mão direita: olhando na direção de
, o bordo deve aparecer orientado no sentido anti-horário. Aqui, como o enunciado diz que na projeção em
a curva aparece horário, isso implica que o versor normal deve apontar no sentido oposto ao que teria componente positiva de
(intuindo que olhar do lado positivo de
faria a projeção aparecer anti-horária). Portanto devemos escolher a normal com componente
negativa para que a orientação induzida corresponda ao enunciado. Assim eu escolho
(Se preferir, pense: se escolhesse
a orientação de
seria a oposta da dada; por isso pegamos o sinal negativo.)
Passo 5
Calculamos o produto escalar
. Como
e
,
Observação: este escalar é constante sobre a superfície, então a integral dupla será ele multiplicado pela área do disco.]
Passo 6
Calcular a área do disco (interseção do plano com a esfera).
A distância do centro da esfera
ao plano
é
Como o raio da esfera é
, o raio
do círculo de interseção satisfaz
Portanto a área do disco é
Passo 7
Agora aplicamos Stokes:
Nós multiplicamos o escalar constante
pela área do disco
.
Passo 8
Faço a simplificação final da expressão obtida: