Use o teorema de Stokes para calcular \int_{C} F d r, onde
Exercício 64. F(x, y, z)=(3 y+z, x+ 4 y, 2 x+y) e C é a curva obtida como interseção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} com o plano y+z=a, orientada no sentido horário quando projetada sobre o plano x z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C} F\cdot d r, onde está dado:
F(x,y,z)=(3y+z,\;x+4y,\;2x+y),
e C é a curva de interseção da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}
com o plano
y+z=a,
orientada de tal forma que, quando projetada no plano xz, a orientação da curva aparece no sentido horário.
Informações relevantes listadas:
\begin{aligned} &F(x,y,z)=(3y+z,\;x+4y,\;2x+y),\\\ &C=\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},\;y+z=a\},\\\ &\text{orientação de }C:\\ \text{horário na projeção no plano }xz. \end{aligned}çãáçã

Passo 2

Vamos usar o Teorema de Stokes. Vou explicá-lo bem devagarinho.
O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície S com bordo \partial S=C e um campo vetorial F,
\int_{C} F\cdot d r = \iint_{S} (\nabla\times F)\cdot \mathbf{n}\, dS,
onde \nabla\times F é o rotacional (curl) de F e \mathbf{n} é o vetor unitário normal à superfície S escolhido de acordo com a orientação da curva C (a regra da mão direita: se o polegar aponta na direção de \mathbf{n}, os dedos enrolados mostram a orientação positiva de C).
O que preciso fazer:
  1. Calcular \nabla\times F.
  2. Escolher uma superfície S cujo bordo seja C (a escolha natural aqui é o disco planar formado pela interseção do plano y+z=a com a esfera).
  3. Determinar o vetor normal unitário \mathbf{n} compatível com a orientação dada (atenção ao “horário” na projeção).
  4. Calcular (\nabla\times F)\cdot\mathbf{n} (que será constante se \nabla\times F for constante) e integrar sobre o disco (basta multiplicar pelo área do disco).

Passo 3

Calculo do rotacional \nabla\times F. Lembrete: para F=(F_1,F_2,F_3),
\nabla\times F=\Big(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Big).
Aplicando a F:
\begin{aligned} \frac{\partial F_3}{\partial y} &= \frac{\partial (2x+y)}{\partial y}=1,\\[4pt] \frac{\partial F_2}{\partial z} &= \frac{\partial (x+4y)}{\partial z}=0,\\[4pt] \frac{\partial F_1}{\partial z} &= \frac{\partial (3y+z)}{\partial z}=1,\\[4pt] \frac{\partial F_3}{\partial x} &= \frac{\partial (2x+y)}{\partial x}=2,\\[4pt] \frac{\partial F_2}{\partial x} &= \frac{\partial (x+4y)}{\partial x}=1,\\[4pt] \frac{\partial F_1}{\partial y} &= \frac{\partial (3y+z)}{\partial y}=3. \end{aligned}
Logo,
\nabla\times F=(1-0,\;1-2,\;1-3)=(1,\;-1,\;-2).]

Passo 4

Escolha da superfície S e do vetor normal.
Escolho S como o disco plano dado por y+z=a limitado pela interseção com a esfera (é a superfície naturalmente delimitada por C).
O vetor normal não unitário do plano y+z=a é \mathbf{n}_0=(0,1,1) (pois o coeficiente de x,y,z no lado esquerdo do plano dá a direção normal). O versor normal é
\hat{\mathbf{n}}_{\pm}=\pm\frac{(0,1,1)}{\sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\pm\frac{(0,1,1)}{\sqrt{2}}.
Agora a questão da orientação: foi dito que C é orientada no sentido horário quando projetada sobre o plano xz. Pelo Teorema de Stokes, a orientação do bordo é a orientação positiva correspondente ao versor normal \hat{\mathbf{n}} segundo a regra da mão direita: olhando na direção de \hat{\mathbf{n}}, o bordo deve aparecer orientado no sentido anti-horário. Aqui, como o enunciado diz que na projeção em xz a curva aparece horário, isso implica que o versor normal deve apontar no sentido oposto ao que teria componente positiva de y (intuindo que olhar do lado positivo de y faria a projeção aparecer anti-horária). Portanto devemos escolher a normal com componente y negativa para que a orientação induzida corresponda ao enunciado. Assim eu escolho
\hat{\mathbf{n}}=-\frac{(0,1,1)}{\sqrt{2}}.
(Se preferir, pense: se escolhesse +\frac{(0,1,1)}{\sqrt{2}} a orientação de C seria a oposta da dada; por isso pegamos o sinal negativo.)

Passo 5

Calculamos o produto escalar (\nabla\times F)\cdot\hat{\mathbf{n}}. Como \nabla\times F=(1,-1,-2) e \hat{\mathbf{n}}=-\dfrac{(0,1,1)}{\sqrt{2}},
\begin{aligned} (\nabla\times F)\cdot\hat{\mathbf{n}} &=(1,\,-1,\,-2)\cdot\left(-\frac{(0,1,1)}{\sqrt{2}}\right)\\[6pt] &=-\frac{1}{\sqrt{2}}\big(1\cdot 0 + (-1)\cdot 1 + (-2)\cdot 1\big)\\[6pt] &=-\frac{1}{\sqrt{2}}(-1-2)\\[6pt] &=\frac{3}{\sqrt{2}}. \end{aligned}
Observação: este escalar é constante sobre a superfície, então a integral dupla será ele multiplicado pela área do disco.]

Passo 6

Calcular a área do disco (interseção do plano com a esfera).
A distância do centro da esfera (0,0,0) ao plano y+z=a é
d=\frac{|a|}{\sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{|a|}{\sqrt{2}}.
Como o raio da esfera é a, o raio R do círculo de interseção satisfaz
R=\sqrt{a^{2}-d^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}.
Portanto a área do disco é
\text{Área}= \pi R^{2}=\pi\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\pi\frac{a^{2}}{2}.Á

Passo 7

Agora aplicamos Stokes:
\int_{C} F\cdot d r = \iint_{S} (\nabla\times F)\cdot \hat{\mathbf{n}}\, dS = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)\cdot\left(\pi\frac{a^{2}}{2}\right).
Nós multiplicamos o escalar constante \dfrac{3}{\sqrt{2}} pela área do disco \pi a^{2}/2.

Passo 8

Faço a simplificação final da expressão obtida:
\int_{C} F\cdot d r = \frac{3}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\pi a^{2}}{2}=\frac{3\pi a^{2}}{2\sqrt{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi a^{2}}{2\sqrt{2}}

Exercícios relacionados