Exercício 57:
Mostre que as leis da absorção implicam as leis da idempotência.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que, a partir das leis da absorção em álgebra booleana, podemos deduzir as leis da idempotência.

Passo 2

As leis da absorção são:
x lor (x land y) = x
x land (x lor y) = x
Vamos usar essas duas de forma inteligente.

Passo 3

Para provar que x lor x = x, vamos aplicar a segunda lei de absorção com y = x:
x land (x lor x) = x
Agora, observe a primeira lei de absorção tomando y = x lor x:
x lor l(x land (x lor x)r) = x
Como já vimos que x land (x lor x)=x, essa expressão fica
x lor x = x,
que é a idempotência da soma.

Passo 4

Para provar que x land x = x, usamos de modo análogo: começamos com a primeira lei de absorção, escolhendo y = x:
x lor (x land x) = x
Em seguida aplicamos a segunda lei de absorção com y = x land x:
x land l(x lor (x land x)r) = x
Como x lor (x land x)=x, obtemos
x land x = x,
que é a idempotência do produto.

Passo 5

Assim mostramos que a partir das duas leis de absorção segue-se imediatamente que x lor x = x e x land x = x, ou seja, as leis da idempotência.

Resposta

As leis da idempotência ( x lor x = x e x land x = x) resultam diretamente das leis da absorção.

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