Exercício 57:
Mostre que as leis da absorção implicam as leis da idempotência.
Mostre que as leis da absorção implicam as leis da idempotência.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que, a partir das leis da absorção em álgebra booleana, podemos deduzir as leis da idempotência.
Passo 2
As leis da absorção são:
Vamos usar essas duas de forma inteligente.
Passo 3
Para provar que
, vamos aplicar a segunda lei de absorção com
:
Agora, observe a primeira lei de absorção tomando
Como já vimos que
, essa expressão fica
que é a idempotência da soma.
Passo 4
Para provar que
, usamos de modo análogo: começamos com a primeira lei de absorção, escolhendo
:
Em seguida aplicamos a segunda lei de absorção com
Como
, obtemos
que é a idempotência do produto.
Passo 5
Assim mostramos que a partir das duas leis de absorção segue-se imediatamente que
e
, ou seja, as leis da idempotência.
Resposta
As leis da idempotência (
e
) resultam diretamente das leis da absorção.