Expresse as seguintes L-fórmulas uma vez somente com o símbolo uparrow e da outra vez somente com o símbolo downarrow.
p wed>=(q rightarrow r).

Passo 1

Queremos representar a fórmula pwed>=(qrightarrow r) usando apenas o operador Sheffer ( uparrow) e depois apenas o operador Peirce ( downarrow). Para isso, vamos usar as equivalências padrão: Sheffer (NAND):
neg A = A uparrow A
A land B = (A uparrow B) uparrow (A uparrow B)
A rightarrow B = (A uparrow B) uparrow ((A uparrow A) uparrow (B uparrow B))
Peirce (NOR):
neg A = A downarrow A
A lor B = (A downarrow B) downarrow (A downarrow B)
A land B = (A downarrow A) downarrow (B downarrow B)
A rightarrow B = (Aland B) lor (neg Aland neg B)

Passo 2

Substituindo só com uparrow:
Primeiro o bicondicional
qrightarrow r = (quparrow r) uparrow ((quparrow q) uparrow (ruparrow r))
Então a conjunção final
pwed>=(qrightarrow r) = (,puparrow((quparrow r)uparrow((quparrow q)uparrow(ruparrow r))),)uparrow(,puparrow((quparrow r)uparrow((quparrow q)uparrow(ruparrow r))),)

Passo 3

Substituindo só com downarrow:
Calculamos
qland r = (qdownarrow q)downarrow(rdownarrow r),
neg qlandneg r = qdownarrow r
Logo
qrightarrow r = ((qdownarrow q)downarrow(rdownarrow r))lor(qdownarrow r) =l(((qdownarrow q)downarrow(rdownarrow r))downarrow(qdownarrow r)r)downarrowl(((qdownarrow q)downarrow(rdownarrow r))downarrow(qdownarrow r)r)
Por fim,
pwed>=(qrightarrow r) = (pdownarrow p)downarrowl( l(((qdownarrow q)downarrow(rdownarrow r))downarrow(qdownarrow r)r)downarrowl(((qdownarrow q)downarrow(rdownarrow r))downarrow(qdownarrow r)r) r)

Resposta

Usando apenas uparrow:
pwed>=(qrightarrow r) = (,puparrow((quparrow r)uparrow((quparrow q)uparrow(ruparrow r))),)uparrow(,puparrow((quparrow r)uparrow((quparrow q)uparrow(ruparrow r))),)
Usando apenas downarrow:
pwed>=(qrightarrow r) = (pdownarrow p)downarrowl( l(((qdownarrow q)downarrow(rdownarrow r))downarrow(qdownarrow r)r)downarrowl(((qdownarrow q)downarrow(rdownarrow r))downarrow(qdownarrow r)r) r)

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