Expresse as seguintes L-fórmulas uma vez somente com o símbolo uparrow e da outra vez somente com o símbolo downarrow.
p (neg p q).

Passo 1

A gente precisa reescrever a fórmula p (neg p q) usando só o Sheffer stroke ( uparrow) e, em seguida, usando só o Peirce arrow ( downarrow). O conteúdo aqui é completude funcional: mostrar como negar, formar disjunção e implicação apenas com uparrow ou apenas com downarrow.

Passo 2

Para usar só NAND ( uparrow), lembramos as equivalências básicas:
neg A = A uparrow A, A lor B = (A uparrow A) uparrow (B uparrow B), A to B = neg A lor B = ((A uparrow A) uparrow (A uparrow A)) uparrow (B uparrow B)

Passo 3

Começando pela subfórmula neg p q:
  • Primeiro neg p = p uparrow p.
  • Então
neg p q = ((p uparrow p) uparrow (p uparrow p)) uparrow (q uparrow q)

Passo 4

Agora reescrevemos p (neg p q) com só uparrow:
  • Usando A to B = ((A uparrow A) uparrow (A uparrow A)) uparrow (B uparrow B),
  • com A = p e B = neg p q,
p (neg p q) = ((p uparrow p) uparrow (p uparrow p)) uparrow l(((p uparrow p) uparrow (p uparrow p)) uparrow (q uparrow q)r)

Passo 5

Para usar só NOR ( downarrow), as regras são:
neg A = A downarrow A, A land B = (A downarrow B) downarrow (A downarrow B), A to B = neg A lor B = (A downarrow A) downarrow B

Passo 6

Fazendo a subfórmula neg p q com só downarrow:
  • Primeiro neg p = p downarrow p.
  • Então
neg p q = ((p downarrow p) downarrow (p downarrow p)) downarrow q

Passo 7

Finalmente, toda a fórmula com só downarrow:
  • Usando p to B = (p downarrow p) downarrow B com B = neg p q,
p (neg p q) = (p downarrow p) downarrow l(((p downarrow p) downarrow (p downarrow p)) downarrow qr)

Resposta

Usando somente uparrow:
((p uparrow p) uparrow (p uparrow p)) uparrow (((p uparrow p) uparrow (p uparrow p)) uparrow (q uparrow q))
Usando somente downarrow:
(p downarrow p) downarrow (((p downarrow p) downarrow (p downarrow p)) downarrow q)

Exercícios relacionados