Exercício 57. Mostre que:
\lim _{x \rightarrow a} c=c

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{x\to a} c = c,
ou seja, que a função constante cujo valor é c (mesmo c para todo x) tem limite igual a c quando x tende para qualquer ponto a.
Informações dadas:
  • A função é a constante f(x)=c para todo x.
  • O ponto de interesse é a (qualquer ponto real).
  • O que se quer provar é que o limite de f(x) quando x\to a é c.

Passo 2

Vou usar a definição \varepsilon- \delta de limite. A definição diz:
\lim_{x\to a} f(x)=L
se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para todo x,
0<|x-a|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.
Explicando cada parte:
  • \varepsilon>0 é um número pequeno que representa o quanto permitimos que f(x) se afaste do valor limite L.
  • \delta>0 é um número que controla quão perto de a devemos tomar x para garantir que f(x) esteja dentro de \varepsilon de L.
  • A implicação significa: se x está dentro da distância \delta de a (mas x\neq a), então o valor f(x) está dentro da distância \varepsilon de L.
Para provar \lim_{x\to a} c = c usaremos essa definição com f(x)=c e L=c.

Passo 3

Calcule a diferença |f(x)-L| para a função constante:
|f(x)-L| = |c-c| = 0.
Observação: esse valor é exatamente 0 para todo x, não depende de x nem de a.
Agora aplikamos a definição: seja dado um \varepsilon>0 arbitrário. Precisamos encontrar algum \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, tenhamos |f(x)-c|<\varepsilon.
Como |f(x)-c|=0 para todo x, temos imediatamente 0<\varepsilon e então
|f(x)-c| = 0 < \varepsilon
para qualquer x. Assim qualquer escolha de \delta>0 serve. Por simplicidade, podemos escolher por exemplo
\delta = 1.
Então, para esse \delta, se 0<|x-a|<\delta então |f(x)-c|=0<\varepsilon. Isso satisfaz exatamente a definição \varepsilon- \delta do limite.

Passo 4

Conclui-se que, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (por exemplo \delta=1, ou qualquer \delta>0) tal que 0<|x-a|<\delta implica |f(x)-c|<\varepsilon. Portanto, pela definição, vale
\lim_{x\to a} c = c.
Intuição rápida e amigável: uma função constante nunca muda de valor; aproximando x de a você sempre obtém exatamente c, então o limite tem que ser c. Isso também mostra que toda função constante é contínua em qualquer ponto.

Resposta

\lim_{x\to a} c = c

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