Exercício 57. Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
ou seja, que a função constante cujo valor é
(mesmo
para todo
) tem limite igual a
quando
tende para qualquer ponto
.
Informações dadas:
- A função é a constante
para todo . - O ponto de interesse é
(qualquer ponto real). - O que se quer provar é que o limite de
quando é .
Passo 2
Vou usar a definição
-
de limite. A definição diz:
se, e somente se, para todo
existe
tal que, para todo
,
Explicando cada parte:
-
é um número pequeno que representa o quanto permitimos que se afaste do valor limite . -
é um número que controla quão perto de devemos tomar para garantir que esteja dentro de de . - A implicação significa: se
está dentro da distância de (mas ), então o valor está dentro da distância de .
Para provar
usaremos essa definição com
e
.
Passo 3
Calcule a diferença
para a função constante:
Observação: esse valor é exatamente
para todo
, não depende de
nem de
.
Agora aplikamos a definição: seja dado um
arbitrário. Precisamos encontrar algum
tal que, sempre que
, tenhamos
.
Como
para todo
, temos imediatamente
e então
para qualquer
. Assim qualquer escolha de
serve. Por simplicidade, podemos escolher por exemplo
Então, para esse
, se
então
. Isso satisfaz exatamente a definição
-
do limite.
Passo 4
Conclui-se que, para todo
existe
(por exemplo
, ou qualquer
) tal que
implica
. Portanto, pela definição, vale
Intuição rápida e amigável: uma função constante nunca muda de valor; aproximando
de
você sempre obtém exatamente
, então o limite tem que ser
. Isso também mostra que toda função constante é contínua em qualquer ponto.