Exercício 59 : Simplifique a expressão polinomial
\frac{x^{4}-16}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão racional
\frac{x^{4}-16}{x^{2}-4}
Isso envolve fatorar polinômios usando a diferença de quadrados e depois cancelar fatores comuns.

Passo 2

Começamos fatorando o numerador como diferença de quadrados. Note que
x^{4}-16 = (x^{2})^{2} - 4^{2}
Aplicando a identidade a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b), temos
x^{4}-16 = (x^{2}-4)(x^{2}+4)

Passo 3

Agora, fatoramos o denominador também como diferença de quadrados:
x^{2}-4 = (x-2)(x+2)
Então a expressão original fica
\frac{x^{4}-16}{x^{2}-4} = \frac{(x^{2}-4)(x^{2}+4)}{(x-2)(x+2)}
E como x^{2}-4=(x-2)(x+2), podemos substituir:

Passo 4

Cancelamos o fator comum (x-2)(x+2) no numerador e no denominador, lembrando que isso só vale para x\neq2 e x\neq-2. Após o cancelamento, sobra
x^{2}+4.

Resposta

x^{2} + 4,\quad x\neq 2,\;-2.

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